refik.in.ua 1

3.4. Опис лінійних дискретних систем у частотній області

Розглянемо третій спосіб опису ЛДС, який застосовується у тому випадку, коли сигнали на вході і виході системи зображаються у частотній області своїми спектрами. Такий спосіб зображення лінійних систем знайшов досить широке застосування при їх аналізі і синтезі. Зауважимо, що далі в цьому підрозділі ми будемо розглядати лише стаціонарні ЛДС.

Частотний коефіцієнт передачі ЛДС. Розглянемо деяку дискретну лінійну систему (див. рис. 3.20), на вході якої діє дискет-





Рис. 3.20. Дискретна лінійна система
ний сигнал , де - інтервал дискретизації. На виході маємо реакцію Будемо вважати, що вхідний і вихідний сигнали ЛДС задовольняють умовам існування дискретного перетворення Фур’є (див. п. 1.5), тобто існують спектральні щільності



і

.

Тоді можна ввести таке

Означення. Відношення спектральної щільності реакції ЛДС до спектральної щільності її впливу , тобто

, (3.99)

носить назву частотного коефіцієнта передачі лінійної дискретної системи.

Частотний коефіцієнт передачі - це комплексно значна функція, що відображає зв’язок між вхідним і вихідним сигналами ЛДС, зображеними у частотній області своїми спектрами, тобто


. (3.100)

Як було показано в п. 1.5, спектри дискретних сигналів є періодичними функціями частоти з періодом , тобто період визначається інтервалом дискретизації . Оскільки і вхідний сигнал, і вихідний − мають один і той же інтервал дискретизації , то і їх спектри і мають один і той же частотний період . Тоді і їх відношення (3.99) теж буде представляти собою періодичну функцію частоти з тим же періодом . Отже частотний коефіцієнт передачі ЛДС є періодичною функцією частоти з періодом . Тому надалі будемо розглядати функцію на частотному інтервалі, що дорівнює періодові, тобто , або .

Згадаємо тепер (див. п.3.2), що зв’язок між входом і виходом стаціонарної ЛДС у часі описується дискретною згорткою1


(3.101)

де - імпульсна характеристика ЛДС.

Застосуємо ДПФ до лівої і правої частин співвідношення (3.101) і врахуємо при цьому, що спектр згортки дорівнює добуткові спектрів функцій, які згортаються (див. властивість 3 , формула (1.72), п.1.6). Тоді в частотній області (3.101) набуде такого вигляду:

, (3.102)

де

(3.103)

- ДПФ імпульсної характеристики ЛДС.

Порівнюючи співвідношення (3.100) і (3.102), можна зробити висновок, що частотний коефіцієнт передачі стаціонарної ЛДС пов’язаний з її імпульсною характеристикою дискретним перетворенням Фур’є (3.103).

Існує і обернене перетворення

. (3.104)

Розглянемо тепер системну функцію ЛДС , що розглядалась в попередньому п. 3.3. Системна функція пов’язує між собою -перетворення вхідного сигналу ЛДС із -перетворення вихідного сигналу (див. формулу (3.48)). В п. 1.5 було показано, що дискретне перетворення Фур’є сигналу, тобто його спектр, можна отримати шляхом заміни в його -перетворенні комплексної змінної на комплексну експоненту . Таким чином, якщо в співвідношенні, подібному до (3.48)




виконати заміну , то отримаємо співвідношення, що буде співпадати зі співвідношенням (3.100). Це дозволяє зробити висновок, що частотний коефіцієнт передачі ЛДС можна отримати на основі її системної функції , якщо виконати заміну змінної , тобто

. (3.105)

Співвідношення (3.105) дозволяє відразу отримати загальні вирази для частотних коефіцієнтів передачі рекурсивних і не рекурсивних ЛДС, скориставшись відповідними виразами для їх системних функцій, а саме, формулами (3.50) і (3.51А) відповідно. Для рекурсивної ЛДС маємо

. (3.106)

Для нерекурсивної ЛДС отримаємо такий вираз:

. (3.107)

Амплітудно-частотна і фазочастотна характеристики. Частотний коефіцієнт передачі є комплексною функцією, яку можна подати у показниковій формі:

, (3.108)

де - модуль частотного коефіцієнта передачі, який носить назву амплітудно-частотної характеристики (АЧХ) ЛДС; - аргумент частотного коефіцієнта передачі, який носить назву фазочастотної характеристики (ФЧХ) ЛДС.


Звернемось до представлення частотного коефіцієнта передачі у формі (3.103). Розклавши експоненту з уявним показником на дійсну і уявну частини, можемо записати



,

де введено позначення:



дійсна частина частотного коефіцієнта передачі і



уявна частина частотного коефіцієнта передачі. Тоді АЧХ лінійної дискретної системи можемо записати так:

. (3.109)

В сою чергу для ФЧХ отримаємо такий вираз:

. (3.110)

Із такого означення АЧХ і ФЧХ випливає, що АЧХ є парною функцією частоти, тобто , а ФЧХ – непарною: .

АЧХ і ФЧХ лінійної дискретної системи, так само як і частотний коефіцієнт передачі, є періодичними функціями частоти, період яких визначається частотою дискретизації . Тому і частотний коефіцієнт передачі (про що вже говорилося вище), і АЧХ і ФЧХ можна розглядати на вісі частот лише в межах частотного інтервалу, що дорівнює періодові, тобто , або . Більше того, враховуючи парність АЧХ і непарність ФЧХ , їх можна розглядати на половині періоду, а саме, наприклад, на інтервалі .


Запишемо спектри дискретних сигналів і на вході і виході ЛДС у показниковій формі. Для вхідного сигналу

,

де модуль представляє собою АЧС сигналу , а аргумент − його ФЧС.

Для вихідного сигналу

,

де модуль представляє собою АЧС сигналу , а аргумент

− його ФЧС.

Тоді згідно з формулами (3.102) і (3.108)можемо записати



. (3.111)

Таким чином, згідно з (3.111) модулі спектра вхідного сигналу і частотного коефіцієнта передачі перемножуються , тобто АЧС вихідного сигналу дорівнює добутку АЧС впливу і АЧХ ЛДС. В той же час аргументи спектра вхідного сигналу і частотного коефіцієнта передачі складаються, тобто ФЧС вихідного сигналу дорівнює сумі ФЧС впливу і ФЧХ ЛДС .


Приклад 3.19. На вході ЛДС з частотним коефіцієнтом передачі діє дискретне гармонічне коливання з довільною фіксованою частотою

,

де будемо вважати, що згідно з теоремою відліків, інтервал дискретизації . Знайти сигнал на виході .

Вхідному сигналу у відповідність можна поставити, застосовуючи відому формулою Ейлера, комплексний експоненційний сигнал

.

На основі останньої формули спектр дискретного гармонічного коливання можна представити у такому вигляді:

,

де АЧС сигналу (див. рис. 3.21, а)



і ФЧС (див. рис. 3.21, б)










а б

Рис. 3.21. Спектри сигналу: АЧС (а) і ФЧС (б)

І нехай цей сигнал діє на вході ЛДС (рис. 3.20) з частотним коефіцієнтом передачі . Тоді, згідно зі співвідношенням (3.111), запишемо



, (3.112)

де враховано, що АЧХ є парною функцією частоти:, а ФЧХ – непарною: .

На основі формули (3.111) і прикладу 3.19, а точніше, на основі співвідношення (3.112), можна з’ясувати фізичну суть частотних характеристик стаціонарних ЛДС: АЧХ і ФЧХ. Згідно з теорією перетворення Фур’є (див. п.п. 1.4 – 1.6)), дискретний сигнал може бути представлений у вигляді суми гармонічних коливань, кожне з яких визначається своєю частотою, амплітудою (АЧС) і початковою фазою (ФЧС). Оскільки ЛДС задовольняє принципу суперпозиції (див. формулу (3.3)), то вона «обробляє» кожну гармонічну складову окремо, незалежно від інших. Гармонічні коливання є власними функціями лінійного оператора, що описує ЛДС. Тому при проходженні гармонічного коливання через лінійну систему на виході ми знову маємо гармонічне коливання з тією ж частотою, але з іншими амплітудою і початковою фазою. Саме частотні характеристики ЛДС і визначають, як змінюються амплітуда і фаза. Точніше, АЧХ ЛДС визначає зміну амплітуд гармонічних коливань на відповідних частотах, а ФЧХ визначає зміну початкових фаз, що і найшло відображення в формулі (3.111).

Враховуючи сказане вище, на основі співвідношення (3.112) запишемо вихідний сигнал у комплексній формі

. (3.113)

Дійсна частина комплексного сигналу (3.113)




і буде шуканим сигналом на виході ЛДС.

Отже стаціонарні лінійні системи, в тому числі і дискретні, не «збагачують» спектр сигналу на виході, тобто вони не створюють нові гармонічні коливання на виході системи. При обробці сигналів вони лише змінюють певним чином, що визначається частотним коефіцієнтом передачі ЛДС, амплітуди і фази гармонік, що діють на вході. «Збагачення» спектру дискретного вхідного сигналу може бути отримано за допомогою нестаціонарних (параметричних) ЛДС, або на основі нелінійних дискретних систем.

АЧХ і ФЧХ рекурсивних і не рекурсивних ЛДС. Формули (3.109) і (3.110) надають загальні вирази для знаходження АЧХ і ФЧХ стаціонарних ЛДС. Скориставшись співвідношеннями (3.106) і (3.107), знайдемо явні вирази для обчислення частотних характеристик ЛДС.

Розглянемо спочатку рекурсивну ЛДС, частотний коефіцієнт передачі якої описується виразом (3.106). Виконаємо в правій частині співвідношення (3.106) заміну комплексних експонент на основі формули Ейлера: . Тоді отримаємо:

.

В чисельникові і знаменникові правої частини останнього співвідношення виділимо їх дійсні і уявні частини:

. (3.114)

Тепер можемо записати вираз для АЧХ рекурсивної ЛДС як відношення модулів чисельника і знаменника правої частини співвідношення (3.114), тобто

. (3.115)

ФЧХ рекурсивної ЛДС або аргумент частотного коефіцієнта передачі , представленого виразом (3.114) представляє собою різницю аргументів чисельника і знаменника цього співвідношення. Отже


. (116)

Із співвідношень (3.115) і (3.116) випливає, що і АЧХ і ФЧХ рекурсивної ЛДС повністю визначаються ваговими коефіцієнтами нерекурсивної частини і рекурсивної частини алгоритму роботи системи (3.29) а також значеннями чисел і , що задають порядок дискретної системи. Інтервал дискретизації визначає період повторення частотних характеристик ЛДС.


1 Ми розглядаємо тут лінійну згортку, коли сигнал заданий у дискретні моменти часу на всій додатній напіввісі. Отримані результати будуть вірними і коли розглядати дискретний сигнал зі скінченою кількістю відліків, або заданий у дискретні моменти часу на всі числовій вісі від до .