refik.in.ua 1 2 3 4

IV. Комплексні числа (к. ч.)


4.1. Дійсні числа
Нагадаємо, що числа 1, 2, 3, 4, ..., n, ..., за допомогою яких ведеться лічба, називаються натуральними. Множину натуральних чисел прийнято позначати буквою N,

= {1, 2, 3, …, n, ...}.

Якщо до множини натуральних чисел включити число нуль, а також –1, –2, –3, ..., то утвориться множина цілих чисел Z={..., –3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Раціональні – це числа вигляду , де qнатуральне, а p – ціле. Множина раціональних чисел позначається Q = {, }. Раціональні числа виражаються звичайними дробами, які можна перетворювати у десяткові: скінченні або нескінченні періодичні.

Числа, які виражаються нескінченними неперіодичними десятковими дробами називаються ірраціональними (нераціональними). Множину ірраціональних чисел позначають буквою І. Прикладами ірраціональних чисел є:

=3,1415926536897931..., е = 2,71828182845904535...,

= 1,4142135623..., і т.п.

Об’єднання множин раціональних і ірраціональних чисел утворює множину дійсних чисел (позначається буквою R), тобто:

.

Відомо, що між точками числової осі ОХ і множиною дійсних чисел R існує взаємно однозначна відповідність.

4.2. Квадратні рівняння з від’ємними дискримінантами
Відомо, що корені квадратного рівняння

(1)

знаходяться за формулами
(2)

де вираз називають дискримінантом.

При D>0 корені квадратного рівняння дійсні і різні;

при D=0 корені дійсні і рівні;

при D<0 говорять. що дійсні корені не існують, а існують, так звані, комплексні корені.


Приклад.
Знайти корені квадратного рівняння

.

За формулами (2) маємо:

.

Серед дійсних чисел вираз не має смислу, тобто не є дійсним числом. Запишемо формально: .

Символ прийнято позначати буквою і , тобто:

, а

його називають уявною одиницею.

Тепер корені рівняння запишуться:

.


Перевірка. Для маємо:



.

Аналогічно робиться перевірка для .

Отже, для квадратного рівняння існують два корені і , які не є дійсними, вони відносяться до комплексних чисел.
Приклади для самостійного розв’язання
Розв’язати квадратні рівняння:

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4. . 5.. 6. . 7. . 8. . 9. . 10..

4.3. Алгебраїчна форма к.ч.
В алгебраїчній формі к.ч.мають вигляд , де дійсні числа; число називається дійсною, а – уявною частиною к.ч.; позначення: ; символ формально визначається рівністю і називається уявною одиницею.

Два к.ч. називаються рівними, якщо відповідно рівні їх дійсні та уявні частини.

Основні операції над к.ч. в алгебраїчній формі введені в §§4.4,4.5,4.6.

Надалі домовимось вирази і т.п. вважати к.ч., записаними в алгебраїчній формі, отже, і т.п. набуватимуть тільки дійсних значеннь.

Нехай дано число . Якщо , то дійсне число :; якщо , то називається чисто уявним числом: .


Приклад. Розв’язати рівняння ; де дійсні числа.

Розвязання. З рівності к.ч. випливає: . Розв’язуючи цю систему, одержимо .
4.4. Спряжені к.ч.
Числа і називаються спряженими. Таким чином, якщо і – спряжені числа, то і .

Очевидно, якщо дійсне число, то ; якщо чисто уявне число, то . Навпаки, якщо і , то відповідно і - дійсне і чисто уявне числа.


Приклади.

1) Якщо , то .


  1. Безпосередньо перевіряється тотожність .


4.5. Модуль к.ч.
Модулем числа називається невід’ємне число .

Модуль дійсного числа дорівнює його абсолютній величині. Справді, якщо , то .

Приклади.

  1. .



  2. .

  3. Показати, що модулі спряжених чисел рівні.

Розвязання. Досить обчислити модулі спряжених чисел




4.6. Додавання і віднімання к.ч.



Приклади

1. .


2. .
Обчислити самостійно
1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

Відповіді. 1. . 2. . 3. . 4.. 5.. 6. . 7. .

8. . 9. . 10. .

4.7. Множення к.ч.
Множення к.ч. виконуємо згідно правила (вважаючи, що ):





Приклади.




  1. .

  2. Правильна тотожність Дійсно,



следующая страница >>