refik.in.ua 1

Алгебра і теорія чисел, 3 семестр, 2011-2012 н.р.


    Перелік контрольних запитань,

    які лежать в основі теоретичних опитувань (колоквіумів) та екзаменаційного контролю

    з алгебри і теорії чисел


МОДУЛЬ 1. Теорія подільності цілих чисел. Числові функції.

  1. Принцип математичної індукції та його застосування в теорії чисел.

  2. Теорема про ділення з остачею.

  3. Подільність цілих чисел. Властивості подільності.

  4. Означення простого та складеного числа, їх влас­тивості. Критерій простого числа. Теорема Евкліда про кількість простих чисел.

  5. Основна теорема ариф­ме­тики ці­лих чисел про існування та єдиність розкладу на­ту­рального числа на прос­ті множники. За­галь­ний вигляд довільного дільника числа.

  6. Решето Ера­тосфена.

  7. Дільники, спільні дільники двох цілих чисел. Найбільший спільний дільник двох цілих чисел – означення, існування, основні властивості.

  8. Зауваження про НСД декількох цілих чисел.

  9. Взаємно прості числа – означення, властивості.

  10. Алго­ритм Евкліда знаходження НСД двох чисел.

  11. Найменше спільне кратне двох цілих чисел – означення, існування, основні властивості. Формули для обчислення довільного СК, НСК двох чисел.

  12. Заува­жен­ня про НСК декількох цілих чисел.

  13. Означення діофантового рівняння. Лінійне діофантове рівняння від двох змін­них, знаходження його розв'язків за допомогою алгоритму Евкліда.

  14. Зв'язок алгоритму Евкліда з ланцюговими дробами. Підхідні дроби та їх влас­тивості.

  15. Застосування ланцюгових дробів до розв'язування лінійного діо­фан­то­вого рівняння з двома змінними.

  16. Означення та властивості мультиплікативних функцій.
  17. Функції τ(n), S(n), їх влас­тивості.


  18. Функції Мебіуса і Ей­ле­ра, їх влас­тивості.


МОДУЛЬ 2. Числові конгруенції. Конгруенції зі змінною.

Степеневі лишки. Алгебраїчні та трансцендентні числа

  1. Конгруенції. Означення та основні властивості.

  2. Класи лишків. Повна та зведена системи лишків.

  3. Теореми Ейлера та Ферма.

  4. Конгруенція з однією змінною, по­­нят­тя розв’язку.

  5. Конгруенція першого степеня. Різні методи розв’язування таких кон­гру­ен­цій.

  6. Системи конгруенцій першого степеня.

  7. Алгоритм зведення конгруенцій довільного степеня за складеним модулем до системи простіших конгруенцій за простими модулями.

  8. Конгруенції довільного сте­пеня за простим модулем, способи їх розв'язування.

  9. Конгруенції 2-го степеня. Квад­ра­тич­ні лишки і нелишки. Критерій Ейлера та наслідки з нього.

  10. Символи Лежандра та Якобі. Їх влас­ти­вості та за­­стосування до роз­в'я­зу­ван­ня конгруенції 2-го степеня.

  11. Класи, що належать до даного показника. Основні властивості по­каз­ни­ків.

  12. Первісні корені. Теорема про число класів первісних коренів.

  13. Індекси та їх властивості.

  14. Алгебраїчні числа і їх основні властивості. Теорема Ліувіля.

  15. Трансцендентні числа, їх побудова.



    Перелік типових задач

    для самоперевірки та підготовки

    до модульного контролю з "Алгебри і теорії чисел"


Модуль 1. Теорія подільності цілих чисел. Числові функції.

  1. Довести, що для всіх натуральних виконується рівність:

а) ;


б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .


  1. Довести, що при будь-якому натуральному :

а) ; б) ;

в) ; г) ; д) ; е) .

  1. Як знаки чисел та впливають на знак частки від ділення на ?
  2. Обчислити частку та остачу від ділення на , якщо:


І. а) , ; б) , ; в) , .

ІІ. а) , ; б) , ; в) , .

  1. Знайти всі натуральні числа , для яких .

  2. Довести, що тризначне число, записане однаковими цифрами, ділиться на 37.

  3. Довести, що якщо тризначне число має дві однакові останні цифри, а сумма його цифр ділиться на 7, то й саме число ділиться на 7.

  4. Довести, що при будь-якому непарному х число .

  5. Довести, що якщо , де х та у цілі числа, то й число ділиться на 13.
  6. За допомогою "решета Ератосфена" знайти всі прості числа з проміжку .


  7. Котрі з чисел 127, 437, 811, 919, 1849, 1079, 10519, 2027 є простими. Ті з них, що є складеними, –– розкласти на прості множники.

  8. Дослідити, які з чисел на проміжку від 3230 до 3250 будуть простими.

  9. Знайти всі прості числа на проміжку від 730 до 800.

  10. Довести, що число n8 + 4 складене при натуральному n > 1.

  11. Довести, що число n8 + n4+1 складене при натуральному n > 1.

  12. При яких значеннях простого р числа виду р + 9 і р + 15 також прості.

  13. Записати в канонічному вигляді розклад чисел на прості множники

а) 4089800; б) 1162800.

  1. *Довести, що , де .

  2. Довести, що , де ,

  3. Розкласти на прості множники число:

а) ; б) ; в) .

  1. Знайти за допомогою алгоритму Евкліда НСД та НСК чисел:

а) 9744, 1248; б) 756, 540; в) 11760, 3024, 6084; г) 10800, 4040, 7920.
  1. Обчислити найбільший спільний дільник чисел та і знайти його лінійне зображення : а) , ; б) , .


  2. Обчислити трьома способами найбільший спільний дільник чисел .

  3. Скоротити дроби .

  4. Звести дроби до спільного знаменника:

а) та ; б) та ; в) та .

  1. Найменше спільне кратне двох чисел дорівнює 3024, а їх найбільший спільний діль­ник дорівнює 4. Знайти друге число, якщо перше дорівнює 28.

  2. НСК двох чисел 462, а їх НСД –– 21. Знайти ці числа.

  3. Сума двох чисел 168, а їх НСД 24. Знайти ці числа. Визначити [a,b].

  4. Знайти множину всіх пар натуральних чисел та , якщо:

а) б) в)

  1. Розв'язати систему лінійних діофантових рівнянь:

а) б)


  1. Розв’язати лінійні діофантові рівняння за домомогою а) методу заміни змінних; б) алгоритму Евкліда:

а) 2х + 3у = 16; б) 3х – 6у = 12; в) 5х – 10у = 13;

г) 11х – 3у = 2; д) 134х – 215у = 111; е) –101х + 236у = 15.

  1. Розкласти 200 на суму таких двох цілих додатних чисел, щоб одне з них ді­ли­ло­ся на 13, а друге на 17.

  2. Розкласти у ланцюговий дріб та знайти підхідні дроби:

0,87; 2,382; –1,251; –0,658; –2,386.

  1. Записати звичайними такі ланцюгові дроби:

[0;2,1,3,4,5]; [1;3,4,2,1]; [-3;1,2,4,3,1]; [-1;2,1,3,4,5].

  1. Розв’язати в цілих числах рівняння із застосуванням ланцюгових дробів

а) х + 3у = 5; б) 7х + 2у = 13; в) 16х – 5у = 1; г) 21х + 19у = 73.

  1. Обчислити значення функції S(n) для чисел 284, 456, 648, 724.

  2. Обчислити значення функції (n) для чисел 220, 560, 375, 768.

  3. Розвязати рівняння:

а) ; б) ; в); г).

  1. Знайти х, якщо:

а)=108, ; б), ;


в) , ; г) , .


  1. Знайти значення функції Ейлера для чисел: 100, 120, 275, 105, 231, 255, 1350, 865, 1875, 2452.

  2. Знайти значення функції Мебіуса для чисел: 12; 13; 126; 111; 255; 865; 2452; 136.


Модуль 2
. Числові конгруенції. Конгруенції зі змінною.

Степеневі лишки. Алгебраїчні та трансцендентні числа

  1. Записати твердження у вигляді конгруенції та знайти :

    1. х + 5 кратне 8; б) 4х + 3 ділиться з остачею 12 на 13;

в) 5х – 1 ділиться з остачею 2 на 17.

  1. Вираз є цілим числом. Довести, що вираз є цілим числом.

  2. Довести, що при будь-якому цілому невід’ємному n справедливі конгруенції:

а) ; б) .

  1. Записати повну та зведену систему лишків за модулем 13.

  2. Написати всі три види повної системи лишків за модулями: 6, 8, 12, 17, 11.

  3. Написати всі три види зведеної системи лишків за модулями 8, 13, 15, 18, 24.
  4. Які з чисел 16, 44, 65, –2, –16, –41 належать до класу С2, а які – до С5 за модулем 77.


  5. Число х пробігає повну систему лишків за модулем 12. Показати, що число 5х+7 також пробігає повну систему лишків за модулем 12.

  6. Довести, що при будь-якому а, взаємно простому з 155, справедлива кон­гру­ен­ція

  7. Знайти остачі відділення: а) 48584 на 129; б) 527144 на 65; в) 353160 на 75.

  8. Знайти дві останні цифри числа: а) ; б) ; в) .

  9. Довести, що .

  10. Довести, що .

  11. Знайти остачу від ділення числа 5402 на 101.




  1. Знайти множину значень х, при яких вираз є цілим числом.

  2. Знайти множину значень х, при яких вираз є цілим числом.

  3. Розв’язати конгруенції



  1. Розв’язати рівняння в цілих числах 3х + 8у = 5; 2х + 5у = 7; 9х – 7у = 15.

  2. Розв’язати за допомогою скінченних неперервних дробів:

.

  1. Застосовуючи теорему Ейлера розв’язати конгруенції:

.


  1. Розв’язати системи конгруенцій:



  1. Знайти значення символу Лежандра:

.

  1. Чи мають розв’язки конгруенції. Якщо так, то розв'язати їх:



  1. Розв’язати квадратні конгруенції:



  1. Довести, що наступні конгруенції не мають розв’язків:



  1. Знайти показники до яких належать числа 8, 5, 13 за модулем 17.

  2. Знайти первісні корені за модулем 13.

  3. Знайти найменший первісний корінь за модулем 17.

  4. Довести, що складне число 4 має первісні корені.

  5. Довести, що не існують первісні корені за модулем 8.

  6. Скласти таблицю індексів за модулем 13.

  7. Які з даних чисел є алгебраїчними

.

    РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

    Основна:

  1. Бородін О. І. Теорія чисел.–– К.: Вища школа, 1970.–– 274 с.

  2. Бухштаб А.А. Теория чисел.–– М.: Просвещение, 1966.–– 376 с.

  3. Виноградов И. М. Основы теории чисел.–– М.: Наука, 1981.–– 176 с.

  4. Морокішко Є. П. Збірник задач і вправ з теорії чисел: Навч. посібник.–– К.: Ви­ща школа, 1996.–– 158 с.
  5. Завало С. Т., Левіщенко С. С., Пилаєв В. В., Рокицький І. О. Алгебра і теорія чи­сел. Практикум в 2-х частинах.–– К.: Вища школа, 1986.–– ч.2.– 264 с.



Додаткова:

До модуля 1 "Теорія подільності цілих чисел. Числові функції"

  1. Завало С.Т., Костарчук В.Н., Хацет Б.И. Алгебра и теория чисел. Ч. 2.–– К.: Ви­ща школа, 1977 (Глава 2, 4).

  2. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел.–– М.: Про­све­щение, 1964.–– 144 с.

  3. Безущак О.О., Ганюшкін О.Г. Елементи теорії чисел: Навч. посібник.–– К.: Ви­дав­ничо-поліграфічний центр "Київський університет", 2003 (Глава 1–5).



    До модуля 2 "Числові конгруенції. Конгруенції зі змінною.

    Степеневі лишки. Алгебраїчні та трансцендентні числа"

  1. Грибанов В.У., Титов П.И. Сборник упражнений по теории чисел.–– М.: Про­све­щение, 1964.–– 144 с.

  2. Завало С.Т., Костарчук В.Н., Хацет Б.И. Алгебра и теория чисел. Часть 2.–– Ки­ев, Вища школа, 1977 (§ 33).

  3. Безущак О.О., Ганюшкін О.Г. Елементи теорії чисел: Навч. посібник.–– К.: Ви­дав­ничо-поліграфічний центр "Київський університет", 2003 (Глава 6–8).



Модуль 1


Теорія подільності цілих чисел. Числові функції.

п\п

Вид контролю


Максимальна

кількість балів


1.

Домашні завдання

2

2.

Опитування на практичних заняттях

2

3.

Самостійна робота

6

4.


Контрольна робота

10

5.

Письмове теоретичне опитування (колоквіум)

10



ВСЬОГО


30 балів


Модуль 2


Числові конгруенції. Конгруенції зі змінною. Степеневі лишки.
Алгебраїчні та трансцендентні числа

п\п

Вид контролю


Максимальна

кількість балів

1.

Домашні завдання

2

2.

Опитування на практичних заняттях

2

3.

Самостійна робота

6

4.

Контрольна робота

10

5.

Письмове теоретичне опитування (колоквіум)

10



ВСЬОГО


30 балів



    Підсумковий модуль іспит – 40 балів – виставляє лектор. Загалом – 100 балів.