refik.in.ua 1

Пропедевтика вивчення стереометричного матеріалу в основній школі. Зі шкільної практики добре відомі труднощі на початку ви­вчення стереометрії в 10 класі. Однією з основних причин цього є слабко розвинені просторові уявлення й уява. На просторові фігури, зокрема різні геометричні тіла (кубики, м'ячі, кульки, циліндри, ко­нуси тощо), діти епізодично натрапляють у дитячому садку, в курсі математики початкової школи. У 5-6 класах основної школи вони вже явно вивчають прямокутний паралелепіпед, куб, обчислюють їхні об'єми, площі основ, граней, обчислюють за формулою об'єм кулі. У б класі на наочно-інтуїтивному рівні вводять призму, піраміду, ци­ліндр, конус, кулю. На уроках праці, малювання, пізніше - крес­лення учнів ознайомлюють з циліндром, конусом, розгортками пара­лелепіпедів, призм.


Водночас, якщо обов’язковою для всіх дітей є основна школа, то курс математики в ній повинен мати певною мірою завершений харак­тер. Це означає, що крім плоских фігур учням слід мати уявлення і про основні просторові фігури. Інакше кажучи, потрібне паралельне вивчення на наочно-інтуїтивному рівні елементів стереометрії в курсі планіметрії (паралельність і перпендикулярність прямих і площин, прямокутний паралелепіпед, пряма призма, піраміда, циліндр, конус, куля, практичні вміння визначати площі поверхні й об'єми зазначе­них тіл, зображувати просторові фігури на площині, будувати їх роз-гортки, читати рисунки).

Така пропедевтика стереометрії потрібна не тільки для розвитку просторових уявлень і уяви, а й для практичної підготовки школярів. В учнів СПТУ і технікумів, наприклад, виникають труднощі під час вивчення спеціальних предметів, на виробничій практиці в ситуації, коли потрібно обчислити об'єми тіл, площі поверхонь, виконати зав­дання з технічного креслення.

Спроби розв'язати цю суперечність здійснювалися в 70 -80-х ро­ках XX ст., у період упровадження нових програм і підручників. На­приклад, у посібнику з геометрії А. М. Колмогорова [154] на завер­шення курсу планіметрії пропонувався пропедевтичний розділ сте­реометрії, в якому без строгих доведень було стисло викладено відо­мості про фігури в просторі та формули для обчислення об'ємів і площ поверхонь основних геометричних тіл. Проте в той час від посіб­ника відмовилися, і спробу не було реалізовано. У чинній програмі знову передбачено вивчення цього навчального матеріалу в темі «По­чаткові відомості стереометрії».

Інший методичний варіант реалізації пропедевтики стереометрії в курсі планіметрії пропонує В. І. Рижикыжик В. И. Система задач школьного учебника геометрии: Дис. ... д-ра пед. наук в форме научного доклада. - СПб., 1993. - 57 с). Автор наводить у задачах геометричні відомості щодо стереометрії. При цьому ознайомлення з поняттями і фактами стереометрії має не систематичний, а пропедевтичний характер, його основною метою є сприяти виникненню і розвитку тривимірних просторових уявлень. Пропоновані фігури аналогічні тим, які вивчають у планіметрії. Наприклад, якщо в теоретичному матеріалі йдеться про трикутник, то в задачах розглядають тетраедр, вивчення правильного трикутника пов'язується з правильним тетраедром і правильною трикут­ною пірамідою, квадрата - з кубом і правильною чотирикутною пірамі­дою, кола і круга - з циліндром і конусом, прямокутника - з прямо­кутним паралелепіпедом і прямою призмою.


Перша поява багатогранників і тіл обертання пов'язується з їх мо­делями. Учням пропонують спочатку зробити розгортку, потім склеї­ти та отримати багатогранник, який вивчається. Досвід переконує, що учні 12 - 13 років зацікавлено виконують такі завдання й успішно дають їм раду. Пізніше використовують матеріалізовану форму геоме­тричних тіл - рисунки. Учням пропонують стереометричні задачі на доведення й обчислення, розв'язування яких сприяє глибшому засво­єнню планіметрії. Наприклад, задачі на ознаки рівних трикутників можна урізноманітнити, якщо працювати з трикутниками, які є гра­нями тетраедра. Багатогранники й тіла обертання використовують надалі під час вивчення інших тверджень планіметрії.

Запропонований методичний варіант пропедевтики стереометрії до­сить перспективний. Проте ми вважаємо за необхідне дещо розширити відомості про геометричні тіла в б класі. Саме після запровадження по­нять кола, круга і кулі доцільно ввести поняття призми, піраміди, цилін­дра і конуса та формули для обчислення об'ємів і площ поверхонь цих тіл. У 9 класі під час вивчення теми «Площі фігур» слід повернутися до обчислення площ поверхонь і об'ємів геометричних тіл за форму­лами, виконуючи вимірювання лінійних елементів за моделями. Йдеться про проведення лабораторної роботи на вимірювання й обчи­слення геометричних величин. Такі завдання важливі, оскільки рівень розвитку тривимірних просторових уявлень в основній школі потріб­но постійно підтримувати. До того ж такі лабораторні роботи потре­бують використання (отже, і повторення) правил наближених обчис­лень.

Перші уроки стереометрії. До перших уроків стереометрії належать ті, що стосуються першої теми курсу - «Аксіоми стереометрії, їх найпростіші наслідки». Слід мати на увазі, що під час вивчення перших тем стереометрії, а отже, вже на перших уроках, учні натрапляють на труднощі, на які звертали увагу свого часу О. М. Астряб і Д. М. Маєргойз. Оскільки на­вчання перших тем курсу здебільшого залишається традиційним, то висловлені зауваження є актуальними й нині. Йдеться про труднощі, пов'язані передусім з недостатнім розвитком в учнів просторових уявлень й уяви, значною абстрактністю навчального матеріалу порів­няно з планіметричним, перевантаженістю теоремами, зокрема дріб­ними, наявністю багатьох аналогій і відмінностей між відповідними поняттями та твердженнями планіметрії й стереометрії.


З метою зменшення перших труднощів учитель має використову­вати наочність, зокрема стереометричний ящик або сучасні його мо­дифікації. Зменшити труднощі щодо абстрактності навчального мате­ріалу можна, якщо вчитель конкретизує означення, аксіоми й теореми різноманітними застосуваннями їх у навколишньому житті та техніці. Перевантаженість теоремами та їх доведеннями вчитель може змен­шити, якщо зосередить увагу учнів на основних твердженнях, які бу­дуть часто потрібні надалі.

Щодо аналогій і відмінностей у навчальному матеріалі планіметрії та стереометрії, то вчитель має скористатися тими аналогіями, які дають змогу учням краще усвідомити й запам'ятати факти зі стереометрії, та застерегти їх від тих аналогій, які можуть призвести до помилок.

Основна мета вивчення першої теми полягає у повторенні аксіом планіметрії та засвоєнні учнями аксіом стереометрії. Учні мають зна­ти аксіоми стереометрії, основні наслідки з них, уміти застосовувати їх до розв'язування задач. Як і на перших уроках планіметрії, вимога все доводити з посиланням на аксіоми і доведені раніше теореми є обов’язковою.

Бесіда про логічну будову геометрії. Перший урок доцільно при­святити поясненню учням ідеї дедуктивної, аксіоматичної побудови геометрії на прикладі планіметрії, походження та ролі первісних по­нять і аксіом, повторенню аксіом планіметрії та схеми логічної будови геометрії. Бесіда вчителя може мати такий зміст.

Кожна наука і кожний навчальний предмет у школі оперують певними поняттями, вивчають їх властивості та відношення між ними. Наприклад, фізика вивчає такі поняття, як рух, швидкість, маса, теплота, струм тощо. Граматика розглядає поняття: речення, прикметник, дієслово тощо. Геометрія - це наука про властивості геометричних фігур, і вона має справу з такими поняттями, як гео­метрична фігура, окремі види фігур - трикутник, круг, куб. Гео­метрія вивчає такі відношення між фігурами, як рівність, подіб­ність, паралельність, перпендикулярність, розглядає різні перетво­рення фігур (симетрії, поворот, подібність), має справу з геомет­ричними величинами (довжина відрізка, кола, міра кута, площа, об'єм).


На відміну від інших наук геометрія має специфіку в своїй побу­дові. Вона побудована дедуктивно. Що це означає?

Потрібно пояснити учням суть терміна «дедукція». Дедукція (від лат. deductio - виведення) у широкому розумінні - це така форма мислен­ня, за якої нова думка суто логічно виводиться з деяких думок-посилань. У вужчому розумінні дедукція - це такий умовивід, унаслідок якого можна отримати нові знання про предмети або групи предметів на основі вже наявних знань про досліджувані предмети. Планіметрія вивчає фі­гури на площині. Найпростішими фігурами в планіметрії є точка і пря­ма. Ці два поняття належать до первісних, яким домовились не давати означень і використовувати їх для означення інших понять. Наприклад, серединним перпендикуляром до відрізка називають пряму, перпендику­лярну до цього відрізка і яка проходить через його середину. Тут се­рединний перпендикуляр означається через первісні поняття «пряма», «точка» (середина відрізка).

Потреба в первісних поняттях та їх роль у геометрії саме і пов'язані з дедуктивним принципом її побудови. Справді, в геометрії кожне нове поняття, крім первісних, означається або на основі первісних, або на основі раніше означених понять. Розглянемо приклад. Як відомо, квадра­том називають прямокутник, всі сторони якого рівні; прямокутник означається через паралело­грам, в якого всі кути прямі; паралелограм озна­чається через чотирикутник і т. д. Маємо ланцюжок понять (рис. 14.1), який не може бути нескінченним.

Тому виникає потреба невелику кількість понять прийняти без означення (первісні поняття), а через них означати інші. Крім точки і прямої первісними поняттями планіметрії є поняття «належать» для точок і прямих, «лежать між» - для трьох точок прямої «довжина відрізка», «градусна міра кута».

Доцільно зауважити, що первісні поняття вибирає той, хто будує курс. Наприклад, у шкільному посібнику А. М. Колмогорова [154] поняття «лежить між» означалось через первісне поняття «відстань». Первісні поняття, як і більшість означуваних, походять від об’єктів, що існують реально, і є абстракцією від них. Наприклад, поняття «площина» похо­дить від реальної поверхні кришки стола або поверхні озера. Однак площину ми уявляємо необмежено подовженою, вона не має товщини. Пряма - образ натягнутої нитки або дроту. Проте пряма в геометрії не має кінців і товщини та уявляється необмежено подовженою.Крім первісних і означуваних понять геометрія використовує твер­дження, що виражають властивості понять. Вони бувають двох видів: аксіоми і теореми. Твердження, що виражають властивості найпро­стіших фігур (первісних понять) і приймаються без доведення, нази­вають аксіомами. Твердження, що виражають властивості геометрич­них фігур і доводяться, мають назву теорем. Потреба і роль аксіом також спричинені дедуктивним принципом побудови гео­метрії. Тут ми маємо аналогічну схему (рис. 14.2), оскіль­ки кожне нове твердження доводиться на основі раніше відомого, вже доведеного твердження і т. д.Оскільки лан­цюжок тверджень не може бути нескінченним, виникає потреба домовитись прийняти невелику їх кількість без доведення і використовувати для доведення інших.


Вибір аксіом - це також справа домовленості. Доціль­но сказати учням про те, що коли теорему про суму кутів трикутника прийняти за аксіому, то за ЇЇ допомогою можна було довести твердження про властивість паралельних прямих на площині (аксіому паралельних).

Далі потрібно повторити аксіоми планіметрії, скористав-шись для цього зведеною таблицею, в якій подано всі дев'ять аксіом (див. розд. З, § 2 підручника О. В. Погорєлова [291]).

На цьому уроці можна проаналізувати кілька означень з погляду того, через які раніше відомі поняття їх формульовано, і хоча б одне доведення з погляду того, які відомі раніше твердження (посилання) в ньому використано.

Завершують урок демонструванням заздалегідь заготовленої схеми побудови геометрії.

Схема побудови геометрії

1. Перелічують первісні (неозначувані) поняття.

2. Формулюють аксіоми про властивості первісних понять.

3. За допомогою первісних і раніше означених понять формулю­ють означення нових понять.

4. На основі аксіом, доведених раніше тверджень і означень дово­дять нові твердження.

Вивчення аксіом стереометрії та наслідків з них. На другому уроці доцільно ввести поняття про стереометрію як розділ геометрії, що вивчає властивості фігур у просторі, пояснити походження термі­на (від гр. сттєрєб^ - об'ємний, просторовий і цєтрєсо - вимірюю) та звернути увагу на те, що найпростішими фігурами в стереометрії є точка, пряма і площина. Оскільки площина є новою найпростішою фігурою, потрібно сформулюватіи аксіоми, що виражають властивості площини. Далі пропонуються зведені в одну таблицю (див. табл. 12.2) три аксіоми стереометрії. Слід навести учням приклади використання аксіом стереометрії у виробничій діяльності людини. Наприклад, учи­тель розповідає, як тесляр перевіряє, чи розміщуються кінці ніжок стола в одній площині, від чого залежить стійкість стола. Він натягує нитки на кінці ніжок і перевіряє, чи перетинаються вони (аксіома С^).Оскільки точка і пряма також є основними фігурами простору, то всі аксіоми планіметрії переходять у стереометрію і система аксіом стереометрії складається з дев'яти аксіом планіметрії та трьох аксіом групи С. Після цього потрібно уточнити учням деякі аксіоми планімет­рії (IV, VII, VIII, IX) як аксіоми стереометрії.На перших уроках стереометрії за умови роботи за підручником О. В. Погорєлова [290] доводять чотири теореми, які є найпростіши­ми наслідками з аксіом. Перший наслідок стверджує існування і єди-ність площини, яка проходить через задану пряму і задану точку, що не лежить на прямій. Можна скористатися одним з двох методів доведення цієї теореми. Перший - синтетичний - викладено в під­ручнику. Досвід доводить, що деякі учні формально заучують дове­дення, не усвідомлюючи глибоко його суть і додаткову побудову, яка виконується. Тому на уроці доцільніше використати аналітичний метод, який активізує пізнавальну діяльність учнів на пошук дове­дення. Після цього учні можуть викласти доведення синтетичним ме­тодом.


Наведемо можливу модель організації діяльності учнів під час ви­вчення згаданого доведення. В цьому разі за таблицями аксіом учні вибиратимуть аксіому, потрібну для доведення. Після формулювання теореми потрібно виконати рисунок (рис. 14.3) і коротко записати умову і висновок з теореми.

Дано: а - пряма; В - точка, яка не лежить на а. Довести: 1. Існування площини а, яка про­ходить через а і В. 2.Єдиність площини а.

Учень. Аксіома про можливість проведення площини через дві різні прямі, що мають спільну точку.Учитель. На яку додаткову побудову наштовхує нас ця аксіома? Учень. Потрібно провести ще одну пряму, яка перетинала б пряму а. Учитель. Яка аксіома обґрунтовує можливість проведення прямої? Учень. Через будь-які дві точки можна провести пряму і тільки одну. Учитель. Через які точки проводитимемо ще одну пряму? Учень. Через точку В і довільну точку А прямої а. Учитель. Яка аксіома обґрунтовує можливість вибору точки А? Учень. Хоч би якою була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй.

Учитель. Проведемо пряму через точки В і А. Прямі а і b різні, оскільки точка В прямій а не належить. Через прямі а і Ь, які перетинаються, проведемо площину а (виконує на дошці рисунок площини а). Учитель. II. Доведемо, що площина а єдина.

(В учнів може скластися думка, що немає потреби в доведенні єдиності пло­щини а, оскільки за аксіомою С$через дві прямі, які перетинаються, можна провести площину і тільки одну.Насправді це не так, оскільки точку А на прямій а було вибрано довільно. Тому довільною є і пряма и.)

Яким методом доводиться в математиці єдиність чого-небудь?


Учень. Методом від супротивного.

Учитель. Спробуйте самостійно довести єдиність площини а, скористав­шись методом від супротивного.

Учень (очікувана відповідь). 1. Припустимо, що існує ще одна площина а, яка відмінна від а і проходить через аі В.

2. Тоді оскільки а належить а (за побудовою) і а' (за припущенням), то а і а' перетинаються по прямій а. За побудовою точка В належить площині а, а за припущенням вона належить а'. Це означає, що В належить а, що суперечить умові теореми.

3. Припущення неправильне, а справедливе те, що а і а' збігаються, тобто іс­нує єдина площина а, яка проходить через пряму а і точку В.

За іншим методичним варіантом учні можуть самостійно ознайомитись з доведенням цієї теореми за підручником, але оформити його з усіма обґрунтуваннями у вигляді таблиці (табл. 14.1). 

Єдиність площини а. доводиться так само, як і в попередньому мето­дичному варіанті.Доведення наступних двох теорем не громіздкі, проте також потребу­ють докладного обґрунтування з посиланням на вивчені аксіоми і тео­реми. Доведення теореми 15.2 (за нумерацією підручника [290]) доцільно вивчати, складаючи таблицю, а щодо доведення теореми 15.3, то можна організувати колективний його пошук. Обидві ці теореми безпосередньо використовують у практиці. Тесляр перевіряє якість поверхні стола, що виготовляється, прикладаючи до його кришки в різних напрямках лінійку. Якщо між лінійкою і кришкою стола немає просвітів, то стіл виготовлений якісно (теорема 15.2). За теоремою 15.3 побудовано шта­тиви для фотоапаратів і різних геодезичних приладів. Кінці ніжок штативів знаходяться на одній площині, внаслідок чого прилад займає стійке положення. Будь-які двері можна розглядати як модель пло­щини, а два завіси і замок, на який двері замикаються, - як три точки, що визначають площину.Система задач перших уроків стереометрії містить їх небагато, але переважно - це задачі на доведення. Доцільно звернути увагу учнів на те, що вивчені аксіоми стереометрії та наслідки з них да­ють можливість розв'язувати найпростіші задачі на побудову в просторі. Проте оскільки рисунок в стереометрії лише умовно зобра­жує просторову фігуру, то побудови в стереометрії бувають двох ви­дів: а) побудови на рисунку, які реально виконуються на площині паперу або дошки (наприклад, побудова перерізів багатогранни­ків); б) уявні побудови, за яких фактично лише пояснюється мож­ливість побудови, доводиться існування об'єкта. У цьому разі ви­ходять з того, що в просторі можна вибрати будь-яку точку, через дві точки можна провести пряму, через три точки, через пряму і точку, що не лежить на ній, через дві прямі, які перетинаються або парале­льні, можна провести площину; якщо дано пряму і площину, які перетинаються, то можна вказати точку їх перетину; в заданій або побудованій площині можна виконувати будь-які побудови плані­метрії.