refik.in.ua 1

Предприятие может выпускать два вида продукции А и В, используя для этого три вида ресурсов. Запасы каждого вида ресурсов, а также расход каждого ресурса на изготовление единицы изделия каждого вида и прибыль, получаемая при реализации одного изделия каждого вида, приведены в таблице:






Расход ресурсов на изготовление единицы продукции

Запасы

ресурсов

Вида А

Вида В




Ресурс І

16

4

784

Ресурс ІІ

8

7

552

Ресурс ІІІ

5

9

567

Прибыль, получаемая при реализации изделия

4

6





Составим математическую модель задачи об оптимальном использовании сырья.

Пусть – план производства продукции, где – количество выпущенной продукции вида А; – количество выпущенной продукции вида В.

Функцией цели (критерием эффективности) является прибыль от реализации всей изготовленной продукции. Эта функция исследуется на максимум:

.

На эту функцию наложены следующие ограничения: расходы сырья не должны превышать запасы по каждому виду ресурсов (основная система ограничения):




Кроме того, количество выпущенной продукции не может быть отрицательным, т. е. есть ограничение на знак:

Таким образом, мы получили математическую модель задачи линейного программирования в основной форме:






Для каждого условия находим ту часть плоскости, где оно выполняется. Записываем первое уравнение в виде равенства:



И для нахождения отрезков, которые эта линия отсекает на осях, делим на правую часть, т.е. на 784:

.

По оси Х1 откладываем отрезок 45, а по оси Х2 – отрезок 196 и соединяем эти точки. Подписываем прямую как L1. Проверяем, где выполняется условие (1). Для этого подставляем в неравенство координаты (0; 0). Т.к. оно выполняется как верное числовое неравенство (0 < 784), то стрелка смотрит в сторону 0. И так для всех условий.

Затем строимо градиент функции цели . Это вектор, указывающий направление наиболее быстрого роста функции. Перпендикулярно градиенту через начало координат проводим линию уровня – линию постоянного значения функции. Линии уровня, проходящей через начало координат, соответствует минимальное значение функции.

Перемещая линию уровня в направлении градиента, определяем вершину, через которую линия уровня выходит из многоугольника планов. Эта вершина образована пересечением линий L2 и L3. Т. е., неравенства (2) и (3) основной системы ограничений превратились в уравнения, что означает, что ресурсы 2-го и 3-го видов израсходованы полностью ().






Решая систему уравнений (2) и (3), находим компоненты оптимального плана:


Это означает, что мы производим 27 единиц продукции вида А, а также 48 единиц продукции вида В.

Т.к. 1-е условие основной системы ограничений осталось в виде неравенства, то есть остаток сырья 1-го вида. Найдем этот остаток, подставив компоненты оптимального плана в 1-е неравенство:

.

Оптимальный план имеет вид:

.

Ему соответствует максимальное значение прибыли:

.