refik.in.ua 1
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ
Мета роботи: уточнення коренів нелінійних рівнянь методами половинного ділення, хорд, дотичних, січних та простої ітерації.
Якщо рівняння алгебраїчне або трансцендентне достатньо складне, то його корені рідко можна визначити точно. Крім того, в деяких випадках рівняння містить коефіцієнти, що відомі лише наближено, і, відповідно, задача про точне визначення коренів рівняння втрачає сенс. Тому, важливе значення набувають способи наближеного визначення коренів рівняння та оцінювання ступеня їх точності.

Метод половинного ділення практично зручно застосовувати для грубого визначення коренів нелінійного рівняння, оскільки при збільшенні точності значно зростає обсяг обчислювальної роботи.

Нехай дано рівняння
, (1)
де функція неперервна на і .

Для визначення кореня рівняння (1), що належить відрізку , ділимо даний відрізок навпіл. Якщо , то є коренем рівняння. Якщо , то вибираємо ту із половин або , на кінцях якої функція має протилежні знаки. Новий звужений відрізок знову ділимо навпіл і проводимо такі ж дії. У результаті отримуємо на деякому етапі або точний корінь рівняння (1), або ж нескінченну послідовність вкладених один в одного відрізків , , …, , … таких, що

, (2)

і

. (3)
Метод половинного ділення легко реалізується на ЕОМ.

Коротко розглянемо метод хорд. За даним методом визначаються значення функції в точках, що розташовані на осі через рівні інтервали. Це робиться, поки кінці інтервалів , не будуть мати різні знаки. Пряма, що проведена через ці дві точки, перетинає вісь у точці
.
Після цього визначають і порівнюють його з . Надалі користуються замість того значення, з яким воно збіглося за знаком.

Наближення припиняється в тому випадку, коли виконується умова
.
Похибка розв’язку оцінюється за формулою:
,
де - відповідно найбільше та найменше значення модуля першої похідної на відрізку.

У методі Ньютона (дотичних) здійснюється екстраполяція за допомогою дотичної до кривої в даній точці.
.
В основі цього методу лежить розкладання функції в ряд Тейлора

Члени, що містять у другому і більших степенях, відкидаються і в результаті отримується наведена вище наближена формула для оцінки .

Швидкість збіжності цього алгоритму значною мірою залежить від правильного вибору початкової точки. Коли в процесі обчислень кут нахилу дотичної перетворюється на нуль, застосування цього методу ускладнюється. Крім того, у випадку дуже великих значень (опуклість функції) чи кратних коренів метод Ньютона стає неефективним.

Початкове наближення слід вибрати з умови



.

Похибка методу оцінюється як


,
де - найбільше за модулем значення другої похідної на інтервалі .

Однією з головних проблем при застосуванні методу Ньютона є необхідність аналітичного опису похідної. Якщо це складно чи неможливо, то можна застосувати її наближену оцінку. Тоді замість методу дотичних застосовується метод січних, за яким

,
де - наближена оцінка похідної, що розглядається як січна, а не як дотична, і може бути оцінена за формулою


чи

,

де - деякий невеликий крок.

Алгоритм цього методу подібний методу Ньютона, але з іншою ітераційною формулою.

Одним із найбільш важливих способів числового розв’язку рівняння є метод ітерації. Суть методу полягає в тому, що дано рівняння
, (4)
де - неперервна функція, і необхідно визначити його дійсні корені. Замінимо рівняння (4) рівносильним рівнянням

. (5)

Виберемо будь-яким способом грубе наближення значення кореня і підставимо його в праву частину рівняння (5). Тоді отримаємо деяке число

. (6)
Підставимо тепер у праву частину рівняння (6) замість число , отримаємо нове число .

Відповідна ітераційна формула має вигляд
.

Обчислення закінчується, коли

.

Для забезпечення збіжності повинна виконуватись умова про те, що максимальне за модулем значення першої похідної функції на відрізку повинно бути меншим одиниці

.
Тоді процес буде збіжний незалежно від вибору початкової точки в інтервалі .

Похибка методу на - ій ітерації обчислюється за виразом
.
Варіанти завдань видає викладач
Звіт повинен містити


  1. Розв’язання вручну.

  2. Лістинг програми.

  3. Результати тестування.

4. Висновки.
Контрольні запитання
1. Які рівняння відносять до лінійних та нелінійних ?

  1. Навести класифікацію нелінійних рівнянь і систем та методів їх розв’язування.

  2. В яких задачах виникає потреба розв’язання таких рівнянь ?

  3. Дати порівняльну оцінку та рекомендації щодо вибору методів розв’язання нелінійних рівнянь та систем.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ

РІВНЯНЬ ПРЯМИМ МЕТОДОМ
Мета роботи: обчислення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) методом Гаусса з послідовним виключенням невідомих.
Найбільш розповсюдженим методом розв’язування СЛАР є алгоритм послідовного виключення невідомих. Даний метод носить назву метода Гаусса і відноситься до точних методів розв’язування СЛАР, що являють собою кінцеві алгоритми для обчислення коренів системи (наприклад, правило Крамера, метод Гаусса та його модифікації, метод квадратних коренів та інші).

Однак через неминучі округлення результати навіть точних методів є наближеними. Крім того, оцінка похибок коренів в загальному випадку ускладнена.

Розв’язування системи поділяється на два етапи:

Прямий хід, при якому систему із прямокутного вигляду переводять до трикутного.





де ,

.

Обернений хід забезпечує обчислення коренів системи:




.
Варіанти завдань видає викладач
Звіт повинен містити


  1. Розв’язання вручну.

  2. Лістинг програми.

  3. Результати тестування.

4. Висновки.
Контрольні запитання


  1. Дати порівняльну характеристику прямих та ітераційних методів розв’язання СЛАР.

  2. Суть метода Гаусса з вибором головного елемента.

  3. Суть метода Гаусса з послідовним виключенням невідомих.

  4. В якому випадку доцільно застосовувати метод Гаусса на практиці ?



ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 3
РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ

РІВНЯНЬ ІТЕРАЦІЙНИМ МЕТОДОМ
Мета роботи: обчислення систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) методом простої ітерації.
При великій кількості невідомих лінійної системи схема методу Гаусса, що дає точний розв’язок, є досить складною. У таких випадках для визначення коренів системи інколи зручніше користуватись наближеними числовими методами. Ітераційні методи забезпечують отримання коренів системи із заданою точністю шляхом збіжних нескінченних процесів (наприклад, метод ітерації, метод Зейделя, метод релаксації та інші).

При використанні ітераційних процесів до похибок округлень додається похибка методу.


Крім того, ефективне застосування ітераційних методів істотно залежить від вдалого вибору початкового наближення та швидкості збіжності процесу.

Розв’язування системи.

Спочатку необхідно СЛАР (1) привести до зручного для ітерації вигляду.

(1)

Для цього розв’яжемо перше рівняння системи (1) відносно , друге – відносно і так далі. Тоді отримаємо систему:
(2)

де ,
Систему (2) будемо розв’язувати методом послідовних наближень. За нульове наближення приймаємо, наприклад, стовпець вільних членів . Обчислення будемо вести до тих пір, поки величини .
Варіанти завдань видає викладач
Звіт повинен містити


  1. Розв’язання вручну.

  2. Лістинг програми.

  3. Результати тестування.

  4. Висновки.


Контрольні запитання


  1. Дати порівняльну характеристику прямих та ітераційних методів розв’язання СЛАР.

  2. Розкрити суть методу простої ітерації для розв’язання СЛАР.

  3. Розкрити суть методу Зейделя для розв’язання СЛАР.

  4. Як провести оцінку збіжності ітераційного процесу?