refik.in.ua 1

ЛЕКЦИЯ 9

МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ
9.1 Волновой процесс. Понятие волнового фронта.
Тело, колеблющееся в упругой среде, периодически воздействует на прилегающие к нему частицы среды, выводя их из положений равно­весия и заставляя совершать вынужденные колебания, возмущающие частицы среды..

Механические возмущения (деформации), распространяющиеся в упругой среде, называются упругими волнами.
Геометрическое место точек среды, в которых фаза колебаний частиц одинакова, называется волновым фронтом или волновой поверхностью. Например, существуют сферические волны, исходящие от точечного источника колебаний, волновая поверхность которых представляет собой сферу.
Упругая волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны. Если же частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны, то такая волна называется поперечной.
Поперечные волны могут возникать только в такой среде, которая обладает упругостью формы, т. е. способна сопротивляться деформации сдвига. Поэтому поперечные волны могут существовать лишь в твердых телах. Таковы, например, волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов.

Продольные волны могут распространяться как в твердых телах, так и в жидкостях или газах. Пример продольных волн - звуковые волны в жидкостях и газах. Они представляют собой колебания давления, распространяющиеся в этих средах.

В отличие от других видов механического движения среды (например, ее течения) распространение упругих волн в среде не связано с переносом вещества.

Частицы, отстоящие друг от друга на расстоянии  T ( ‑ скорость распространения, T – период колебаний), колеблются в одинаковой фазе. Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны .


= T или  =λν,

где  ‑ частота колебаний.
9.2 Дифференциальное волновое уравнение и его решение. Фазовая скорость. Уравнение плоской и сферической волн
Рассмотрим распространение продольной волны в тонком упругом стержне, которая создается источником колебаний, расположенном в некоторой точке пространства (x = 0). Выделим объем стержня длиной Δx (рис.9.1).. Под действием упругих сил, возникающих в точках x и xx, рассматриваемый объем будет испытывать деформации растяжения и сжатия.

Пусть s - упругое смещение границ выделенного объема от положений равновесия. Применение к данному объему закона движения центра масс приводит к дифференциальному уравнению

, (9.1)

где t –время, ρ –плотность материала стержня, E – модуль Юнга.


Рис.9.1
Уравнение (9.1) называется дифференциальным волновым уравнением, которое записано в одномерном виде.

Решение уравнения (9.1) для волны, распространяющейся в направлении оси x, имеет вид:

, (9.2)

где A – амплитуда колебаний частиц среды (амплитуда волны);  – циклическая частота колебаний источника, которая равна частоте колебаний частиц среды, вызванных волной.

Можно показать, что данное уравнение имеет общий характер,. В трехмерном виде волновое уравнение имеет следующий вид:

, (9.3)

где 2 ‑ оператор Лапласа:


.

Решением этого уравнения является смещение s частиц среды от положений равновесия, как функция координат и времени. s = s(x,y,z, t).

Определим смысл величины  в уравнениях (9.2) и (9.3), имеющей размерность скорости. Зафиксируем какое-либо значение фазы, в уравнении (9.2), положив

. (9.4)

Выражение (9.4) описывает распространение волнового фронта. Продифференцировав (9.4), получим

. (9.5)

Скорость распространения волны  в приведенных выше уравнениях есть скорость перемещения фазы, поэтому эту скорость называют фазовой скоростью.

Из уравнения (9.1) следует

.

Т.е.фазовая скорость продольных волн в твердых телах зависит от модуля Юнга E и плотности среды .

Можно показать, что скорость поперечных волн определяется модулем сдвига:

.

Скорость волн в идеальном газе для адиабатического процесса распространения зависит от абсолютной температуры:

,

где γ – показатель адиабаты (отношение изобарной и изохорной теплоемкостей газа, γ=сp
V), R – универсальная газовая постоянная, T - абсолютная температура, μ – молярная масса газа.

Функция (9.2) описывает плоскую волну, так как волновой фронт представляет собой плоскость.


Уравнение плоской волны можно представить в симметричном виде относительно t и х. Для этого вводится понятие волнового числа k:

. (9.6)

Используя (9.7), получим выражение для скорости :

. (9.7)

Тогда уравнение волны описывается соотношением

s = Acos(tkx). (9.8)

Если волну рассматривать на расстоянии значительно большем, чем размеры источника, то источник можно считать точечным. В этом случае в изотропной среде волна будет сферической. Такую волну описывает решение дифференциального уравнения (9.3), представленное в сферических координатах. Уравнение сферической волны имеет вид:

. (9.9)

Из (9.9) видно, что амплитуда сферической волны изменяется обратно пропорционально расстоянию от волнового фронта до источника.

Зависимость амплитуды волны от расстояния обусловлено тем, что по мере удаления фронта волны от источника за равные промежутки времени в колебательное движение вовлекаются все возрастающие объемы среды.

3. Плотность потока энергии волны. Вектор Умова

Выделим в среде, в которой распространяется плоская продольная волна, элементарный объем V = Sx, с площадь поперечного сечения S и длиной Δx, в котором скорости движения частиц и относительные деформации в каждой точке объема неизменны. Частица массой m и объемом V обладает кинетической энергией, равной

, (9.10)

где ‑ плотность среды.

Используя уравнение плоской волны (9.9) s = Acos(tkx), выражение (9.10) примет вид:

. (9.11)

Выделенный объем V будет обладать потенциальной энергией упругой деформации на величину Δs, равной (см. формулу (3-28)):

. (9.12)

В формуле (9.12) k – коэффициент жесткости; – модуль Юнга; ‑ относительная деформация объема среды.

Для плоской волны

, (9.13)

где ‑ волновое число. С учетом формулы (9.13):

(9.14)

Поскольку фазовая скорость волны , то

. (9.15)

Выражения (9.11) и (9.15) показывают, что кинетическая и потенциальная энергия частиц волны меняются в одной фазе.

Полная энергия волны в объеме V будет равна

W = Wк + Wп = VA22sin2(tkx). (9.16)

Из (9.16) следует, что энергия волны распространяется со скоростью упругой волны.


Разделив энергию W на объем V, в котором она содержится, получим плотность энергии волны

. (9.17)

Поскольку среднее значение квадрата синуса равно 1/2, то среднее (по времени) значение плотности энергии в каждой точке среды будет равно

. (9.18)

Выражение (9.18) справедливо для всех видов волн.

Вывод: среда, в которой возникает волна, обладает дополнительной энергией, поступающей от источника колебаний. Эта энергия передается в различные точки среды волной, т. е. волна переносит энергию.

Количество энергии dW, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии Ф через поверхность. Размерность потока энергии совпадает с размерностью мощности, т. е. Дж/с. По определению:

.

Плотностью потока энергии волны называется вектор, направленный в сторону распространения волны и численно равный отношению потока энергии dΦ, сквозь малый элемент dS поверхности к площади dSn проекции этого элемента на плоскость, перпендикулярную к направлению распространения волны:

.

Выразим плотность потока энергии через объемную плотность энергии w. Согласно определению, плотность потока энергии волны равна

, (9.19)

где энергия dW = wdtdSn равна энергии, переносимой через попереч-


ное сечение параллелепипеда, dSn, перпендикулярное к направлению распространения волны. Объем данного параллелепипеда равен dtdSn (см. рис. 9.2).

Направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением скорости распространения волны, т. е.

. (9.20)

Таким образом, вектор плотности потока энергии волны равен произведению вектора скорости распространения энергии волны на величину ее объемной плотности. Вектор называется вектором Умова.
Из формул (9.18) и (9.19) следует, что объемная плотность энергии и плотность потока энергии синусоидальной волны пропор

Рис. 8-2

циональны квадрату амплитуды волны и квадрату частоты волны. Формула (9.20) справедлива для плотности потока энергии волн любого типа.
ВОЛНОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ В УПРУГОЙ СРЕДЕ
9.1 Волновой пакет. Групповая скорость волны
Все реальные волны отличаются от синусоидальных. Оказывается, что любую несинусоидальную волну можно заменить эквивалентной ей системой синусоидальных волн. Описание волны упрощается, если волна мало отличается от синусоидальной - квазисинусоидальная волна.

Квазисинусоидальная волна представляет собой совокупность синусоидальных волн, частоты которых мало отличаются от некоторой основной частоты . Такую несинусоидальную волну называют группой волн, или волновым пакетом.

Дисперсией. называется зависимость свойства среды (например, скорость распространения волны) от частоты


Рассмотрим простейший волновой пакет, образованный двумя плоскими продольными синусоидальными волнами, распространяющимися вдоль оси ОХ. Пусть амплитуды этих волн одинаковы, начальные фазы равны нулю, а частоты и волновые числа несколько различны, но близки друг к другу:

s1 = Asin(tkx),
s2 = Asin(tkx)

Для результирующей волны получим:

s = s1 + s2 = 2A0 cos(t – kx)sin(tkx),

где:

/

Амплитуда А этой волны постоянной не является, а зависит от координаты х и времени:

A = 2A0 cos(t – kx).

Выражение для амплитуды волнового пакета также является уравнением плоской синусоидальной волны, которая является волной амплитуды колебаний. Фаза этой волны равна:

ФA = t – kx.

Скорость и распространения энергии волнового пакета наз. групповой скоростью, которая равна фазовой скорости волны амплитуды. Дифференцируя выражение для ФА и полагая ФА = const, получим:

.

В пределе, когда  и Δk стремятся к нулю, получим:

. (9.21)

С учетом того, что, формула (9.1) примет вид:

. (9.22)


Подставив в (9.2) выражение частоты через фазовую скорость  , и выполнив дифференцирование, получим:

. (9.23)

Формула (9.3) устанавливает соотношение между групповой и фазовой скоростью волн, и получила название формулы Рэлея. Скорость и называется групповой скоростью пакета волн. В случае отсутствия дисперсии волн (d/d = 0) групповая скорость волн в пакете совпадает с их фазовой скоростью.

Так как скорость группы волн характеризует распространение амплитуды волнового пакета, то групповая скорость определяет скорость распространения энергии волны.

9.2 Интерференция и дифракция волн. Стоячие волны.
Принцип Гюйгенса.

Интерференцией волн называют явление, которое возникает при наложении двух или нескольких волн и состоящее в устойчивом во времени их взаимном усилении в одних точках пространства и ослаблении в других, в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Интерферировать могут только те волны, которые удовлетворяют следующим условиям:

- волны должны быть синусоидальными,

- частоты колебаний волн должны быть одинаковы, такие волны называются монохроматическими,

- разность фаз интерферирующих волн не зависит от времени, такие волны называются когерентными,

- колебания в волнах совершаются вдоль одного и того же направления.

При интерференции волн отсутствует простое суммирование их энергий, интерференция волн приводит к перераспределению энергии колебаний между соседними областями среды. Поэтому явление интерференции не противоречит закону сохранения и превращения энергии. Примером интерференции волн является картина, создаваемая двумя колеблющимися тонкими стержнями, погруженными в жидкость и жестко связанными друг с другом так, что их амплитуды, частоты и начальные фазы одинаковы. На поверхности жидкости будет наблюдаться совокупность гребней и впадин, – максимумов и минимумов.


Если волна огибает какое-либо препятствие, то за ним также будет наблюдаться интерференционная картина. Например, волны, исходящие из точек А и В (рис. 9-1), будут когерентными, так как эти точки принадлежат волновому фронту одной и той же волны. Направления колебаний в этих точка также совпадают. Поэтому, в точке О будет наблюдаться интерференционная картина. Такое явление называется дифракцией волны. В результате дифракции колебания наблюдаются даже в тех местах, которые «закрыты» препятствием на пути волны.

Все синусоидальные волны распространяются в среде независимо друг от друга, так что результирующее смещение любой частицы среды равно векторной сумме ее смещений, обусловленных каждой из волн в отдельности. Этот результат справедлив для волн любой природы и называется принципом суперпозиции волн. На основе наблюдений Гюйгенсом был предложен принцип, который объясняет распространение волны: каждая точка волнового фронта является источником вторичной сферической волны, а огибающая фронтов вторичных волн является фронтом новой волны.

Явления интерференции и дифракции проявляются не только при распространении механических волн, но и световых.





Рис. 9.1

На границе раздела упругих сред механические волны частично преломляются и частично отражаются. Направление колебаний частиц среды и их частота в отраженной волне не изменяются. При полном отражении не изменяется и амплитуда колебаний. При отражении от менее плотной среды фаза колебаний не изменяется, а при отражении от более плотной среды фаза изменяется на . В результате сложения падающей и отраженной волны образуется стоячая волна. Найдем уравнение стоячей волны для полного отражения. Если уравнение падающей волны s1 = Acos(tkx), то при отражении от менее плотной среды уравнение отраженной волны S2 = Acos(t + kx). Складывая оба этих уравнения и преобразовывая результат по формуле для суммы косинусов, получим:


s = s1 + s2 = 2A cos kx cos t. (9.4)

Поскольку k = 2/, то имеем

. (9.5)

Уравнение (9.5) есть уравнение стоячей волны. Из (9.5) видно, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты , что и у встречных волн. Величина является амплитудой стоячей волны. В точках, в которых выполняется условие

, (n = 0, 1, 2, …), (9.6)

амплитуда колебаний максимальна и равна 2А. Эти точки называются пучностями стоячей волны. Координаты пучностей:

, (n = 0, 1, 2, 3, …). (9.7)

В точках, в которых выполняется условие

, (n = 0, 1, 2, …),

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Координаты узлов:

, (n = 0, 1, 2, …). (9.8)

Расстояние между соседними узлами или пучностями равна и называется длиной стоячей волны.

Стоячие волны энергии не переносят. В пучностях стоячей волны кинетическая энергия максимальна, а в узлах максимальна потенциальная энергия.
9.3 Звуковые волны

Причиной звуковых ощущений людей и животных является воздействие на их органы слуха упругих волн, распространяющихся в воздухе или другой упругой среде под влиянием механических колебаний какого-либо тела (источника звука). Это подтверждается следующим опытом. Поместим электрический звонок в замкнутый стеклянный сосуд и будем откачивать из него воздух. По мере уменьшения плотности воздуха в сосуде звучание звонка ослабевает, а при достаточно сильном разрежении мы видим колебания молоточка звонка и совершенно не слышим его звука.


Человек с нормальным слухом способен воспринимать в форме звука только такие упругие волны, частоты которых не ниже 16 Гц и не выше 20000 Гц. Кроме того, оказывается, что чувствительность нашего уха к волнам различной частоты неодинакова – она максимальна для волн с частотами порядка 1,5–3 кГц. Эти закономерности обусловлены особенностями строения наших органов слуха.

Звуковые волны в газах и жидкостях – продольные. В твердых же телах существуют волны обоих типов. По своей природе и физическим свойствам все упругие волны ничем качественно не отличаются друг от друга. В этом можно убедиться по их действию на микрофоны, пьезоэлектрические приборы, регистрирующие колебания давления, и другие измерительные устройства. Распространение продольных звуковых волн в упругой среде связано с периодическими колебаниями давления в каждой точке среды. Эти колебания давления, воздействуя на органы слуха, вызывают ощущение звука, а их частота определяет высоту тона. Области среды, в которых звуковое давление в данный момент времени максимально, называются сгущениями звуковой волны, а области среды, в которых оно минимально, – разрежениями.

Установлено, что верхний и нижний пределы частот слышимых упругих волн у различных животных неодинаковы. Поэтому звуком в физике называют любые упругие волны, причем, в отличие от слышимых, волны с частотами, меньшими 16 Гц, называют инфразвуковыми, а волны с частотами выше 20 кГц, – ультразвуковыми. Ультразвуковые волны с частотами порядка 109 Гц и выше иногда называют гиперзвуковыми. Верхняя граница частот ультразвуковых волн (в кристаллах порядка 1012–1013 Гц) соответствует частотам, при которых длина этих волн становится соизмеримой с межмолекулярными расстояниями.

Изучением упругих волн занимается физическая акустика. Для характеристики звука в акустике используются частота  звуковой волны (или спектр частот в случае сложной несинусоидальной звуковой волны) и интенсивность звука.


Интенсивностью или силой звука называется физическая величина I, равная модулю среднего значения вектора плотности потока энергии звуковой волны (вектора Умова):

I = |U|.

Интенсивность звука можно выразить через скорость переноса энергии (групповую скорость) звуковой волны. Согласно формуле (9.19):

I = wu, (9.9)

где u – групповая скорость волны; w – среднее значение объемной плотности энергии. Для синусоидальной волны скорость и совпадает с фазовой скоростью . Тогда средняя по времени объемная плотность энергии w выражается формулой (9.18). Поэтому для интенсивности звука получим выражение:

. (9.10)

В Международной системе единиц (СИ) интенсивность звука выражается в ваттах на квадратный метр (Вт/м2). Например порог интенсивности звука на пороге слышимости составляет 10–12 Вт/м2, а интенсивность звука от шума двигателя самолета – около 0,5 Вт/м2.

Распространение в упругой среде продольных звуковых волн связано с объемной деформацией. Поэтому, давление в каждой точке среды непрерывно колеблется. Оно равно сумме равновесного значения давления среды и добавочного давления (или разрежения) рзв , вызванного деформацией среды и называемого звуковым давлением. Можно показать, что для плоских и сферических синусоидальных волн среднее по времени звуковое давление выражается через силу звука I:

.

Давление


называется среднеквадратичным или эффективным звуковым давлением ( – плотность среды,  – скорость звука). Значения эффективного звукового давления составляют от 10–5 Па (порог слышимости) до 10 Па (шум двигателя самолета).


Субъективной оценкой силы слухового ощущения является громкость звука. Громкость звука зависит не только от его эффективного давления, но и от чувствительности уха, которая неодинакова для звуков разной интенсивности и частоты. Так, например, если давление меньше некоторой величины р0 , называемой порогом слышимости, то такой звук ухом не воспринимается. Порог слышимости зависит от частоты звука, достигая минимального значения порядка 2 · 10–5 Па при частотах ν = l500–3000 Гц. Достаточно интенсивные звуки перестают восприниматься ухом как звуки и вызывают болевое ощущение. Значение давления рэф , соответствующее появлению этого ощущения, называется порогом болевого ощущения. Он также зависит от частоты звука, хотя и в меньшей степени, чем порог слышимости. Порог болевого ощущения максимален при частотах  = 500–1000 Гц и составляет около 200 Па.

Для сравнения различных звуков одной и той же частоты вводится уровень звукового давления:

Lp = 2klg(рэф /p0), (9.11)

где рэф – эффективное давление исследуемого звука, имеющего частоту ; р0 = 2 · 10–5 Па – условный порог слышимости. В зависимости от числового значения коэффициента k в формуле (9.11) величина L выражается в следующих двух единицах: при k = 1 – в белах (Б) а при
k = 10 – в децибелах (дБ). Из (9.11) следует, что уровень звукового давления, соответствующий условному порогу слышимости, равен нулю

Опыты показывают, что две звуковые волны, уровни звукового давления которых одинаковы, а частоты не совпадают, воспринимаются ухом как звуки неодинаковой громкости. Это явление обусловлено зависимостью чувствительности наших органов слуха от частоты звука. Поэтому уровень звукового давления не может служить исчерпывающей характеристикой его громкости. Для сравнения громкости звуков всевозможных частот вводится понятие об уровне громкости. Уровнем громкости звука называется физическая величина, равная уровню звукового давления равногромкого с ним «эталонного звука», частота которого  = 1 кГц. Уровень громкости звука выражается в фонах. Уровень громкости звука равен 1 фону, если уровень звукового давления равногромкого с ним «эталонного звука» ( = 1000 Гц) равен 1 дБ.

4. Эффект Доплера
Опыты показывают, что измеряемая наблюдателем частота  звуковых волн совпадает с частотой колебаний источника волн ν0 только в условиях, когда наблюдатель и источник либо неподвижны относительно упругой среды, в которой распространяются эти волны, либо движутся с одинаковыми скоростями. Во всех остальных случаях
  ν0 . Так, например, известно, что при приближении к неподвижному наблюдателю быстро движущегося электропоезда его звуковой сигнал кажется более высоким, а при удалении от наблюдателя – более низким, чем тон сигнала того же поезда стоящего на станции. Это явление впервые было теоретически обосновано австрийским физиком К. Доплером (1842) и называется эффектом Доплера.

Найдем связь между  и ν0 для простейшего случая равномерного движения точечного источника звука И (рис. 9-2) и наблюдателя Н вдоль соединяющей их прямой линии





Рис. 9-2
Фронты синусоидальных звуковых волн давления перемещаются в направлении распространения этих волн с фазовой скоростью . Поэтому, если источник звука И неподвижен по отношению к среде и в некоторый момент t = 0 вблизи него находится сгущение, то к моменту t = T, где T – период гармонических колебаний источника звука, это сгущение переместится на расстояние T, а вблизи источника образуется новое сгущение. Расстояние T между сгущениями равно длине звуковой волны, возбуждаемой в среде неподвижным источником.

В случае движения источника звука (рис. 9-2) за время T сам источник перемещается вправо на расстояние 1Т. Поэтому, расстояние между двумя соседними сгущениями, т. е. длина волны , уменьшится на величину 1Т, а частота ν1 , регистрируемая неподвижным наблюдателем, соответственно увеличится:


(9.12)

Формула (9.12) объясняет различие высоты тона звукового сигнала приближающегося к наблюдателю и удаляющегося от него источника звука (например, поезда). В первом случае 1 > 0 и ν1 > ν0 , а во втором 1 < 0 и ν1 < ν0 .

Если наблюдатель также движется со скоростью 2 навстречу источнику звука (рис. 9-2), то число сгущений звуковой волны, регистрируемых наблюдателем за 1 с:

 = 1 + ,

где  =2 1 = (2 /)ν1 – дополнительное число сгущений, регистрируемых наблюдателем в результате перемещения за 1 с на расстояние, численно равное его скорости 2. Таким образом, регистрируемая частота  и частота источника ν0 связаны соотношением:

. (9.13)

Полученная формула справедлива для встречного движения
источника и наблюдателя. Можно показать, что для произвольного направления движения источника и наблюдателя формула (9.13) для частоты воспринимаемого звука от движущегося источника примет вид:

. (9.14)

Если источник и наблюдатель движутся в направлении распространения скорости звуковой волны, то скорости 1 и 2 в формуле
(9.14) положительны. Если источник и наблюдатель движутся в противоположных направлениях, то эти скорости отрицательны.