refik.in.ua 1

Метод Гаусса решения систем уравнений.

Предыдущий метод решения системы алгебраических уравнений сложен, так как очень сложно найти A-1.

Существует метод, который не требует нахождения A
-1, а сразу даёт A-1 ∙ B. Этот метод базируется на двух идеях:


  1. Если некоторое уравнение исходной алгебраической системы умножить на некоторую константу ≠ 0, то решение данной системы не изменится.

  2. Если к уравнению исходной алгебраической системы прибавить другое некоторое уравнение этой системы, то решение этой системы не изменится.

Из этих двух идей слогается метод Гаусса, заключающийся в накапливании нулей и единиц в исходной матрице A, наподобие как в определителе. Ставится цель накопить единицы на главной или побочной диагонали, а в остальных местах – нули.

Если в определителях можно работать строками и столбцами, то в системах уравнений – нет. Единицы и нули получают только в столбцах, работая строками, чт следует из первых двух идей метода.

Метод Гаусса является абсолютно точным методом, если работать с обычными дробями. Обычно на ЭВМ используются десятичные дроби, поэтому метод даёт приближённые значения. Результат будет более точен, если использовать видоизменение метода Гаусса, то есть его главный элемент. При этом выбирают максимальный элемент матрицы A и данную строчку делят на значение этого элемента. При этом получают вместо этого элемента единицу. Тогда в данном столбце накапливают нули, работая строкой, содержащей единицу. При этом ставят задачу получить в каждом столбце и в каждой строке одну единицу и остальные нули.

Замечание: При счёте по методу Гаусса исходную систему выгодно записать виде следующей схематической системы, которую рассмотрим на примере.

Пример:


Исходная система:



Выбираем главный элемент:











Получим: x
1 = 1,00067; x2 = -2,00052; x3 = -5,00019.

Точное решение: x1 = 1; x2 = -2; x3 = -5.