refik.in.ua 1

Тема лекції: Теоретико-множинний зміст частки цілого невід’ємного числа і натурального. Визначення частки через добуток. Необхідна умова існування частки на множині цілих невід’ємних чисел, її єдиність. Неможливість ділення на нуль.

Знати:


  • означення частки цілих невід’ємних чисел;

  • компоненти дії ділення;

  • закони ділення;

  • правила ділення суми на число, числа на добуток, добутку на число.

Вміти:

  • виконувати ділення цілих невід’ємних чисел;

  • застосовувати правила ділення з метою раціоналізації обчислень.

Тип лекції: тематична

Ключові поняття: частка цілих невід’ємних чисел, компоненти дії ділення (ділене, дільник, частка), правила ділення суми на число, числа на добуток, добутку на число.

План

  1. Теоретико-множинний зміст частки цілого невід’ємного числа і натурального.

  2. Визначення частки через добуток.

  3. Існування частки.

  4. Єдиність частки.

  5. Теоретичне обгрунтування неможливості ділення на нуль.

  6. Правило ділення суми на число.

  7. Правило ділення числа на добуток.

  8. Правило множення числа на частку двох чисел.

Основна література



  1. Кухар В.М., Білий Б.М. Теоретичні основи початкового курсу математики: Навч. посібник для педучилищ. – К.: Вища школа, 1987. – 319 с.

  2. Стойлова Л.П., Пишкало А.М. Основы начального курса математики: Учеб. пособие для учащихся педучилищ. – М.: Просвещение, 1988. – 320 с.

  3. Сборник задач по математике: Пособие для педучилищ / А.М.Пишкало и др. – М.: Просвещение, 1979. – 208 с.

Структура лекції

  1. Вступна частина:

    1. Оголошення теми, мети і завдань лекції.

    2. Ознайомлення з планом лекції, основною та додатковою літературою.

  2. Виклад лекційного матеріалу (згідно плану та вимог до лекції).

І. Теоретико-множинний зміст частки цілого невід’ємного числа і натурального.

На практиці часто доводиться розв’язувати такі задачі:


Задача 1. 8 апельсинів розклали на дві тарілки порівну. По скільки апельсинів буде на кожній тарілці?

Аналіз. В задачі розглядається множина А в якій 8 елементів . Множину А розбито на дві рівнопотужні підмножини

А ○○○○○○○○

1 тарілка ○○○○

2 тарілка ○○○○

тоді 8:2 – це кількість елементів в кожній підмножині

8 : 2 = 4 (ап.)

Задача 2. 8 апельсинів розклали по 2 апельсина на кожну тарілку. Скільки потрібно тарілок?

Аналіз. В цій задачі розглядається множина А в якій 8 елементів,

А ○○○○○○○○

Вона розбивається на підмножини, в кожній з яких по 2 елементи, тобто на рівнопотужні множини

А
○○ ○○ ○○ ○○

2 2 2 2

В задачі питається «скільки таких підмножин одержимо?»

Отже 8:2 – це число двоелементних підмножин, на які розбито множину з 8 елементів.

Обидві задачі розв’язуються одним і тим же виразом 8:2, але цей вираз має різні значення.

В загальному випадку частку цілого невід’ємного числа а і натурального числа в визначають таким чином.

Означення 1. Нехай і множину А розбито на попарнонеперетинаючі рівнопотужні підмножини.

Якщо в – це число підмножин в розбитті множини А, то часткою чисел а і в називається число елементів кожної підмножини.

Якщо в – число елементів кожної підмножини в розбитті множини А, то часткою чисел а і в називається число підмножин в цьому розбитті..

Дія, за допомогою якої знаходиться частка а:в називається діленням, число а – ділене, в – дільник.
ІІ. Визначення частки через добуток.

Нехай і множина А розбита на в попарнго неперетинаючихся рівнопотужніх множин , тоді - це число елементів кожної підмножини, тобто . За умовою , тоді





в разів

. Отже вастановлено, що часткою чисел а і в є таке число с. Яке в добутку з в дорівнює а. Таким чисном ми визначили частку чисел через добуток

Означення 2. Часткою цілого невід’ємного числа а і натурального числа в називається таке ціле невід’ємне число , добуток якого і числа в дорівнює а.



Дія ділення є дією, оберненою до дії множення.
ІІІ. Існування частки.

Теорема. Для того, щоб існувала частка двох натуральних чисел а і в, необхідно, щоб .

Доведення. Нехай частка натуральних чисел а і в існує, тобто існує таке натуральнее число с, що .

Ми знаємо, що для будь-якого натурального числа с виконується нерівність /. Помножимо обидві частини нерівності на натуральнее число в



, оскільки, то

Чому дорівнює частка і натурального числа ? За означенням (2) це таке число, що , так як , то рівність буде виконуватись коли . Отже , .

ІV. Єдиність частки.

Теорема. Якщо частка натуральних чисел а і в існує, то вона єдина.

Доведення (від супротивного). Припустимо, що існують два цілих невід’ємних числа і , які є часткою чисел а і в

і ,













Ми прийшли до суперечності, отже частка чисел а і в єдина.
V. Теоретичне обгрунтування неможливості ділення на нуль.

Поширюючи означення ділення на випадок, коли ділене нуль, , маємо , оскільки за другим означенням частки .

Дія неможлива, оскільки немає такого числа , щоб виконувалась умова , коли (ліва частина , а права - .


Дія неможлива, оскільки будь-яке число задовольняє умову , отже може бути будь-яким числом (у початкових класах цей випадок не розглядається.
VІ. Правило ділення суми на число.

Якщо числа і діляться на число , то і їх сума ділиться на число с; частка при діленні суми на число дорівнює сумі часток, які одержуємо при діленні на і на .



Доведення. Так як ділиться на , то існує таке натуральнее число , що . Так як ділиться на , то існує таке натуральне число , що . Тоді


Звідси випливає, що ділиться на і чапстка, одержана при діленні на дорівнює , тобто .


Доведення цього правила можна розглянути з теоретико-множинних позицій. Нехай і , причому ○.

Якщо кожну з множин і можна розбити на рівнопотужних піжмножин, то їх об’єднання теж допускає таке розбиття:
□□□ □□□□ 6 : 2 = 3

○○ ○○ 7 : 2 = 2

□□□○○ □□□○○ 10 : 2 = 5

При цьому, якщо в кожній підмножині розбиття множини міститься елементів в кожній підмножині розбиття множини міститься елементів, то в кожній підмножині міститься елементів.

Це означає, що .

Ця властивість дуже важлива, вона є теоретичною основою алгоритму ділення двоцифрового числа на одноцифрове, а також багатоцифрового на одноцифрове. У початкових классах правило ділення суми на число розкривають на конкретних задачах.

Задача № («Математика 3 клас» М.В.Богданович). 18 жовтих слив і 12 синіх слив батько розділив між трьома синами порівну. По скільки слив одержав кожен син?

Задача розв’язується двома способами, отримуючи при цьому різні, але тотожно рівні між собою числові вирази розв’язання.

1 спосіб: (18+12):3=10 (сл.)

2 спосіб: 18:3+12:3=10 (сл.)


Висновок: (18+12):3=18:3+12:3
VІІ. Правило ділення числа на добуток.

Якщо натуральнее число ділить на натуральні число і , то, щоб розділити на добуток чисел і , достатньо розділити число на і одержану частку розділити на .



Доведення. Припустимо що (1), тоді за означенням частки звідси за означенням частки . На основі сполучного закону дії множення . А це означає, що (2). Таким чином . На цій властивості ґрунтується послідовне ділення при усних обчисленнях.

126:18=126(2·9)=(126:2):9=63:9=7

600:20=600:(10·2)=(600:10):2=60:2=30
VІІІ. Правило множення числа на частку двох чисел.

Щоб помножити число на частку двох чисел достатньо помножити це число на ділене і одержаний добуток розділити на дільник




  1. Заключна частина:

    1. Загальний висновок.

    2. Відповіді на запитання студентів.

    3. Д/з.: Стойлова Л.П., Пишкало А.М. Основы начального курса математики,

C. 147 – 155, впр. 2, 4 (С 152), впр. 1 (С. 153).

Кухар В.М., Білий Б.М. Теоретичні основи початкового курсу математики, С. 188 – 192, впр. 5, 6, 7 (С. 191).