refik.in.ua 1 2 ... 40 41

3-й семестр «Квантовое ядро»


Лекція 37.

Корпускулярно-хвильова природа свiтлового випромiнювання.

Проблеми випромiнювання абсолютно чорного тiла. Гiпотеза Планка. Пiрометрiя.

КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВАЯ ПРИРОДА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

1. Проблемы излучения абсолютно черного тела

1.1. Основные определения


Электромагнитное излучение, возникающее за счет внутренней энергии излучающего тела и зависящее только от температуры и оптических свойств тела, называется тепловым излучением.

Тепловое излучение является равновесным. Поместим в замкнутую адиабатическую оболочку несколько тел с различными температурами. В соответствии со вторым началом термодинамики в такой системе начнут протекать процессы, которые приведут к выравниванию температур тел. Эти процессы состоят в испускании и поглощении электромагнитного излучения телами, находящимися внутри полостей не прекращаются после достижения термодинамического равновесия. Это может быть лишь в том случае, если между телом и излучением устанавливается равновесие: сколько энергии излучает тело, столько же ее оно и поглощает.

Введем некоторые количественные характеристики теплового излучения.

Испускательной способностью тела называется количество энергии, испускаемой за единицу времени с единицы площади в единичном интервале частот:

.

(1)

Спектральной плотностью излучения называется количество энергии электромагнитного излучения, приходящегося на единичный интервал частот и сосредоточенного в единичном объеме:

.


(2)

Поскольку тепловое излучение является равновесным, то между испускательной способностью тела и спектральной плотностью излучения должна существовать пропорциональная зависимость r(,T)~u(,T). Для абсолютно черного тела эта зависимость имеет вид



(3)

Интегральной испускательной способностью (энергетической светимостью) называется количество энергии, испускаемой за единицу времени с единицы площади во всем интервале частот от 0 до ∞. Между интегральной испускательной способностью Rэ(Т) и испускательной способностью r(,T) существует связь.



(4)

Поглощательной способностью тела называется отношение поглощенной энергии ко всей падающей на тело энергии в интервале частот от  до +d:









Рис.1.

Абсолютно черным телом (АЧТ) называется такое тело, поглощательная способность которого для всех частот и температур равна единице: a(,T)=1. Моделью АЧТ может служить небольшое отверстие, вырезанное в полой сфере из непрозрачного вещества (рис. 1). Луч света, попадая через такое отверстие внутрь полости, испытывает многократные отражения и практически полностью поглощается.





Рис. 2.
Серым называется такое тело, поглощательная способность которого меньше единицы, но постоянна для всех частот и температур (рис.2). У цветного тела поглощательная способность является функцией частоты и температуры.

1.2. Закон Кирхгофа


Кирхгоф установил закон, согласно которому отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности не зависит от природы тела и является универсальной функцией от частоты и температуры:

.

(5)

Для АЧТ поглощательная способность равна единице, поэтому для такого тела испускательная способность совпадает с универсальной функцией



(6)

Пусть адиабатическая полость, внутренние стенки которой являются АЧТ, заполнена равновесным тепловым излучением. Выделим на поверхности полости участок площадью dS и подсчитаем для него баланс энергии. С этого участка излучается энергия r*(,T)dS, где r*(,T) испускательная способность АЧТ. Для сохранения термодинамического равновесия столько же энергии должно поглощаться.. Поскольку для АЧТ a(,T) = 1, то со стороны других участков на выделенный должна падать энергия, равная r*(,T)dS.

Заменим теперь выделенный участок стенки полости некоторым произвольным телом, у которого испускательная способность равна ri(,T), а поглощательная аi(,T)<1. Составим теперь баланс энергии для этого случая. Как и в первом случае, на этот участок будет падать энергия r*(,T)dS, часть которой аi(,T)r*(,T)dS, будет поглощаться; излучаться же будет энергия, равная ri(,T). Поскольку процесс равновесный, то







откуда



(7)

Формула (29.7) справедлива для любого тела — тем самым закон Кирхгофа доказан.

1.3. Законы излучения АЧТ





Рис. 3
Основная проблема изучения АЧТ - определение вида функции r*(,T). Эксперименты позволили найти эту зависимость и сформулировать некоторые частные законы излучения АЧТ. Экспериментальные зависимости r*(,T) для двух значений температуры показаны на рис. 3. Видно, что излучательная способность АЧТ падает при малых и больших частотах и достигает максимума при некотором значении m. С ростом температуры излучательная способность возрастает, а ее максимальное значение смещается в область больших частот.

Сформулируем частные законы излучения АЧТ.

1. Закон Стефана - Больцмана. Интегральная испускательная способность АЧТ пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры, т.е.

.

(8)

где  — постоянная Стефана - Больцмана.

2. Закон смещения (Вина). Частота, на которую приходится максимум испускательной способности АЧТ, пропорциональна его абсолютной температуре:


,

(9)

где b — постоянная Вина.

Закон Вина устанавливает положение максимума кривой r*(,T) с повышением температуры максимум смещается в область более высоких частот.

3. Высота максимума кривой r*(,T). Она устанавливается следующим законом (иногда его называют вторым законом Вина): максимальная испускательная способность АЧТ пропорциональна кубу его абсолютной температуры:



(10)

где с — постоянная.

Эти законы, однако, не дают возможности воспроизвести явный вид функции r*(,T). Для нахождения вида этой функции Д. Релей и Д. Джине воспользовались классическим законом распределения энергии по степеням свободы (§ 9.3) и получили следующее выражение для испускательной способности АЧТ:



(11)

где c — скорость света; k — постоянная Больцмана.

Формула Релея – Джинса (11) хорошо согласуется с опытом в области малых частот, однако в области больших частот эта формула резко расходится с экспериментом (пунктирная линия на рис. 3). Такое несоответствие теории и эксперимента получило название ультрафиолетовой катастрофы.

Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить закономерности теплового излучения АЧТ. Причина этого состоит в принципиальной неприменимости законов классической физики к элементарным процессам, обусловливающим тепловое излучение.


4. Формула Планка. В 1900 г. М. Планк высказал гипотезу, что процесс испускания и поглощения света происходит не непрерывно, а определенными порциями (квантами), энергия которых определяется формулой




(12)

где h = 6,62·10-34 Дж·с — универсальная константа, называемая постоянной Планка.

С помощью таких квантовых представлений о природе излучения Планк нашел функцию распределения энергии излучения АЧТ по частотаv (см. прил. 6):



(13)

которая очень точно воспроизводит экспериментальную кривую r*(,T).

С помощью формулы Планка (29.13) можно объяснить все закономерности излучения АЧТ, установленные ранее. В частности, в области низких частот, когда h/kT<<1, можно приближенно представить экспоненту в (29.13) в виде



(14)

Подставив (14) в (13), получим формулу Релея – Джинса.

Закон Стефана – Больцмана можно получить из формулы Планка, проинтегрировав выражение (13) по частоте в пределах от 0 до ∞:





Для вычисления интеграла сделаем замену h/kT=x; отсюда kTx/h, dkTdx/h. Тогда






Мы получили закон Стефана – Больцмана, причем постоянная






Закон смещения Вина можно получить из формулы Планка, приравняв первую производную по частоте к нулю:






Взяв производную, получим






где



(15)

Полученное уравнение решается методом последовательных приближений и имеет единственный корень x = 2,821. Из формулы (15) следует



(16)

т.е. мы получили закон Вина с постоянной b;






И наконец, второй закон Вина получим, если подставим (16) в формулу Планка:






5. Пирометрия. Раздел технических приложений, использующих закономерности теплового излучения для измерения температуры нагретых тел, называется пирометрией. Пирометры — это приборы для измерения температуры нагретых тел по интенсивности их теплового излучения. Основное условие применимости методов пирометрии состоит в том, что тело, температуру которого измеряют с помощью пирометра, должно находиться в тепловом равновесии и обладать поглощательной способностью, близкой к единице.

Различают яркостные, цветовые и радиационные пирометры.

В простейшем визуальном яркостном пирометре с исчезающей нитью объектив фокусирует изображение исследуемого тела на плоскость, в которой расположена нить (ленточка) специальной лампы накаливания. Через окуляр и красный фильтр нить рассматривают на фоне изображения тела и, изменяя ток накала нити, добиваются, чтобы яркости нити и тела были одинаковы (нить становится неразличимой на фоне тела). Шкалу прибора, регистрирующего ток накала, градуируют обычно в градусах Цельсия или Кельвина, и в момент выравнивания яркостей нити и тела прибор показывает так называемую яркостную температуру тела Tя.


Для измерения температуры тел, которые в оптическом диапазоне являются серыми, применяют цветовые пирометры. Этими пирометрами измеряют яркость тела в двух областях спектра — синей и красной (например, c = 0,48 мкм и кр= 0,60 мкм). Шкала прибора градуирована в °С и показывает цветовую температуру Tц.

Наиболее чувствительны радиационные пирометры, регистрирующие суммарное излучение тела. Действие их основано на законах Стефана –Больцмана и Кирхгофа. Объектив радиационного пирометра фокусирует наблюдаемое излучение на приемник, сигнал от которого регистрируется прибором, калиброванным по излучению АЧТ и показывающим радиационную температуру Tр. В качестве приемника используют либо термостолбик (батарею последовательно соединенных термопар), либо болометр, действие которого основано на уменьшении сопротивления полупроводников при их нагреве.

Измеряемые с помощью пирометров температуры (яркостная Tя, цветовая Tц, или радиационная Tр) пересчитываются на основании законов теплового излучения в истинную. Например, истинная T и радиационная Tр температуры связаны соотношением







где aT — поглощательная способность тела.

Методами пирометрии измеряют температуру в печах и других нагревательных установках, температуру расплавленных металлов, нагретых газов, племени, плазмы. Их широко используют в автоматизированных системах контроля и управления температурными режимами разнообразных технологических процессов.

Лекція 38.

Зовнiшнiй фотоефект. Енергiя i iмпульс свiтлових квантiв. Ефект Комптона. Свiтловий тиск.


следующая страница >>