refik.in.ua 1

Розділ 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економіки.

1.1. Математичні методи і моделі розв’язку економічних задач.

Фахівці в області економічних досліджень вважають, що динамічний розвиток економіки тісно пов’язаний із поширеним застосуванням математичних методів і моделей. Якщо раніше домінував якісний аналіз, то насьогодні вже виявлені кількісні закономірності та побудовані математичні моделі багатьох економічних явищ і процесів. Як результат, спостерігається глибоке проникнення в саму природу досліджуваних процесів та об’єктів економіки. Деякі закономірності, наявність яких не можливо було виявити емпіричним шляхом, формально розраховані математичними методами, навіть коли беспосереднє спостереження не фіксувало навіть їх присутність. Тому математичне моделювання економічних явищ та процесів, шляхом послідовного встановлення логічних причинно-наслідкових зв’язків, для забеспечення можливості спостереження, контролю і управління ними, є найбільш ефективним засобом рішення різноманітних проблем економічно розвинутого суспільства.

Математичне моделювання – це теоретично-експерементальний метод пізнавальної діяльності, методів дослідження і аналізу явищ процесів, об’єктів та систем на основі стоворення нових об’єктів – математичних моделей

Математичні методи досліджень усе ширше застосовуються в таких сферах людської діяльності, як економіка, екологія, соціологія, комерційна діяльність, маркетинг. Складність отримання кількісних оцінок деяких процесів і явищ для побудови адекватних математичних закономірностей досить сильно стимує «математизацію» процесів економіки, що і стало приводом для появи таких міждисциплінарних предметів як економіко-математичне моделювання, економетрія, дослідження операцій.

Економічна діяльність пов’язана з постійним пошуком найбільш вигідного (оптимального за даних умов) варіанту розподілу різних видів ресурсів: фінансових, трудових, товарних, технічних та інших. Ускладнення внутрішніх та зовнішніх взаємозв’язків підприємств, наявність великої кількості показників, факторів і обмежень діяльності окремого підприємства, а також швидкий ріст конкуренції не дозволяють сформувати оптимальний план функціонування і розвитку об’єктів економіки без використання специфічних методів і моделей. Крім того, час для розв’язку задач і прийняття рішень обмежений, і тому не завжди вдається вчасно та якісно скласти оптимальний план.


Існуючі математичні методи та моделі дозволяють розв’язувати задачі навіть великої розмірності, тобто з урахуванням великої кількості показників і факторів впливу, а використання обчислювальної техніки і прикладного програмного забеспечення, значно скорочує тривалість обчислювальних процедур.

У цілому можна виділити три основні групи задач економічної діяльності, що можуть бути вирішені завдяки математичному моделюванню: виробництво продукції, комерційне посередництво і торгівля. Комерційна діяльність – це акти куплі-продажу товарів у сфері товарного обігу, орієнтовані на попит споживача, передача товарів у власність торгівельного підприємства для реалізації і отримання прибутків з найменшими витратами.

У процесі формулювання задачі економічної діяльності необхідно враховувати ступінь ризику та невизначенності: штрафи, нестабільність ринкових цін на сировину і ресурси, зміна купівельної спроможності грошової одиниці та попиту, постійне зростання вимог до якості товарів, тощо. Використання математичних методів і моделей, навіть в умовах ризиків та невизначенності дозволяє розробити оптимальні варіанти рішення таких задач.

Не існує загальних рекомендацій щодо процесу моделювання, тому в кожному конкретному випадку вимоги до побудови математичної моделі залежать від мети та умов досліджуваної системи.

У процесі застосування математичного моделювання в економіці чітка постановка задачі та її формалізація є найскладнішим етапом дослідження, що вимагає ґрунтовних знань передусім економічної суті процесів, які моделюються. Однак, вдало створена математична модель може надалі застосовуватись для розв’язування інших задач, які не мають відношення до ситуації, що початково моделювалася.

Більшість задач планування і управління в галузях народного господарства, а також широкий спектр задач комерційної діяльності розв’язуються методами математичного програмування і відносяться до, так званих, оптимізаційних задач. Найбільш дослідженими методами розв’язку оптимізаційних задач є методи лінійного програмування. Ці методи дозволяють досить адекватно описати і проаналізувати такі економічні проблеми як: планування виробництва певного асортименту товарів; планування товарообігу торгівельних підприємств; організація раціональних торгових перевезень; вибір оптимального маршруту доставки вантажу між пунктами призначення; розподіл робітників за посадами; розподіл товарних потоків; планування капіталовкладень; заміна торгового обладнання; вибір раціонального режиму роботи; розподіл товарних потоків, тощо.


Оскільки в економіко-математичних моделях залежності між показниками описані за допомогою функцій, то відповідно до їх виду всі вище згадані типи задач поділяють на лінійні та нелінійні. У задачах лінійного програмування критерій ефективності та функції системи обмежень лінійні.

Якщо умова задачі вимагає отримання результату в цілих числах, то така задача являється задачею цілочисленого програмування. У задачах параметричного програмування цільова функція або функція що визначає область можливих значень змінних, залежать від деяких параметрів. Якщо ця функція носить випадковий характер, то маємо задачу стохастичного програмування.

Якщо в задачі математичного програмування є змінна часу, а критерій ефективності виражений рівнянням, що описує перебіг процесу або явища в часі, то така задача називається задачею динамічного програмування.

Окремим класом задач економіко-математичного моделювання є задачі виявлення кількісних закономірностей та взаємозв’язків економічних об’єктів, визначення тенденцій, змін і прогнозування значень досліджуваного показника в майбутньому. Ці задачі розв’язуються із застосуванням економетричних методів і моделей. У практичних дослідженнях економетричні методи використовуються не тільки в економіці. Вони поширені у біології, історії, соціології та інших суспільних і природничих науках, де необхідно розробляти і оцінювати моделі, які формалізують зв’язки між великою кількістю змінних.

У цілому, успішному рішенню задач економічної діяльності, сприяє досить значна кількість різноманітних математичних методів і моделей лінійного, цілочисленого і динамічного програмування, теорії ігор, теорії графів та мережного програмування, теорії масового обслуговування, теорії ймовірностей та математичної статистики, кореляційного і регресійного аналізу.
1.2. Поняття про моделі і моделювання.

У найпоширенішому варіанті слово «модель» можна пов’язати з поняттям «копія», що повторює в зменшеному або у збільшеному масштабі усі пропорції і вигляд об’єкту-орігіналу. Такі моделі називають макетами. Макет може відобразити у збільшиному вигляді деякі мікроскопічні об’єкти, що є недосяжним звичайному сприйняттю людини, наприклад атомну будову молекули, або величезні споруди міста – будівлі, мости, мікрайони – у зменшиному, зберігаючи при цьому усі притаманні об’єкту зв’язки, пропорції та характеристики. Такі моделі називають матеріальними. Під час роботи над такими моделями можна легко змінити деталі макету, внести корективи, тобто змоделювати кілька варіантів об’єкту-оригіналу і обрати із усіх варіантів найкращий. Звичайно, створенню макетів передують їх малюнки, креслення, ескізи, схеми, тобто різноманітні відображення макете на папері. Зображення макету на пепері передує представлення його у свідомості людини, що будує макет, таким чином формуються так звані абстрактні моделі. Необхідним для людини є створення не лише статичних моделей – макетів, але і динамічних – змінних у часі процесів економіки, галузей народного господарства, суспільства у цілому. Створення таких моделей є першочерговою задачею математичного моделювання.


У реальному житті ми постійно використовуюмо смислові моделі ситуацій, що потребують прийняття нашого рішення. До фізичних моделей відносяться: іграшкові моделі автомобілей, літаків, глобус, планетарій, скульптура та інші матеріальні об’єкти, що заміняють оригінали.

Абстрактна модель – це малюнок, схема, карта, план квартири, будинку, фотографія, математична і графічна моделі.

Математична модель – це сукупність відношень-рівнянь, нерівностей, логічних функцій, операторів і т.п, що визначають характеристики стану об’єкта моделювання, в залежності від значень параметрів об’єкта-оригінала, початкових і граничних умов, а також часу.

Математична модель, як правило, враховує тільки ті властивості об’єкта-оригінала, що відображують і мають значення з точки зору цілей та задач окремого дослідження. Тобто, в залежності від мети моделювання, розглядаючи один і той же самий об’єкт у різних аспектах, останній може мати різний математичний опис, і, як результат, бути виражений різними математичними моделями.

Математична модель, як формальна система, складається із кінечного числа символів і строгих правил оперування цими символами у сукупності з інтерпритацією властивостей певного об’єкта дослідження, деякими відношеннями і постійними величинами.

Наші знання про об’єкти і явища реальної дійсності завжди відносні, не повні, обмежені, тому вони є відображенням дійсності із деякою похибкою, точністю. Тим самим, майже завжди, виникає необхідність заміни досліджуваного об’єкта-оригінала його моделлю. Крім того створення моделі дозволяє «здешевити» проведення дослідження, скоротити час на вивчення основних характеристик і поведінки досліджуваного явища, об’єкта, процесу.

Таким чином, моделлю називається матеріальний чи ідеальний об’єкт, що створюється для вивчення реального об’єкта (оригіналу) і який відображує найбільш важливі якості і параметри оригіналу.

До абстрактних (ідеальних) моделей відносяться графіки, фотографія, схема, карта, план будинку, математичні моделі, побудовані за допомогою чисел, функцій, рівнянь, нерівностей і т.п. моделі шороко застосовуються в різних сферах діяльності людини: науці, мистецтві, техніці, економіці, т.п. На даний час накопичено величезний досвід успішного використання моделей та моделювання.[ ]. Абстрактні моделі знайшли широке застосування у кількісних методах економічного аналізу, що стало приводом для застосування математичних методів і створення економіко-математичних моделей, що відображують економічні відносини засобами математичного апарату.


Уся сукупність дій, пов’язаних із побудовою, аналізом і використанням моделей називається моделюванням, графічний алгоритм якого представлений на малюнку (рис. 1.1).

Послідовність процесу моделювання представляє собою інтерактивну процедуру, яка передбачає і дозволяє виконати коррекцію піля кожного етапу і повернутися до будь-якого із попередніх, а потім продовжити аналіз.

Можна виділити три основних кроки – етапи алгоритму математичного моделювання. На першому кроці відбувається формулювання проблеми, визначаються цілі і задачі дослідження, виконується якісний опис економічного процесу, явища - об’єкту моделювання. На другому кроці визначаються методи рішення, будується математична модель досліджуваного об’єкта, вибираються чи розробляються методи дослідження, програмуються моделі для обробки на комп’ютері, формується база вхідної інформації. Далі перевіряється придатність моделі на основі перевірки достовірності, адекватності отриманих за нею результатів, оцінюється їх стійкість. На третьому кроці математичного моделювання проводиться дослідження за моделлю, реалізованої у вигляді обчислювальних процедур комп’ютерних програм, виконуються розрахунки, обробляються та аналізуються отримані результати і приймається оптимальне (за даних умов) рішення.

Оптимальне планування направлене на пошук найкращого варіанту із множини можливих альтернатив. Найкращий розподіл ресурсів здійснюється при порівнянні варіантів плану за обраним критерієм оптимальності, що визначає ступінь досягнення мети. Такими критеріями можуть бути рентабельність, дохід, витрати обігу, товарообіг та інші. У зв’язку з цим оптимальним вважається такий план, що забеспечує, наприклад, максимальний дохід (розв’язок задачі на максимум), або мінімум витрат обігу (роз’язок задачі на мінімум).

У цілому пошук оптимальних рішень можна звести до двох основних постановок задач: отримання заданого еффекту при мінімальних витратах або отримання максимального еффекту при заданих обмежених ресурсах.


У сучасній економічній практиці наслідки прийнятих управлінських рішень стосуються інтересів великого числа осіб, що прямо або опосередковано являються об’єктами економічної діяльності та пов’язані зі значними витратами трудових ресурсів, товарних, фінансових, транспортних, енергетичних та інших матеріальних ресурсів. Тому міра відповідальності за прийняте рішення та його наслідки зросла богаторазово, і вимагає більш широкого використання формалізованих підходів, що викладені у теорії прийняття рішень.

Прийняття рішення – це процес, результатом якого є вибір за критерієм ефективності одного із можливих варіантів рішень - альтернатив, що є у розпоряджені особи що приймає рішення.

При виборі будь-якого рішення завжди є можливість обрати певний варіант із множини альтернатив. Критерієм вибору краще обрати такий, що дає можливіть кількісно порівняти можливі альтернативи. Кількісний критерій називають показником ефективності, він формально відображує мету, для досягнення якої і відбувається процес прийняття рішення, в окремій ситуації. У якості таких кількісних критеріїв можуть виступати наступні показники: об’єм товарообігу, прибуток, витрати, рентабельність і т.п..



Рис. 1.1. Алгоритм моделювання

Необхідність вибору альтернативи, або варіанта дій обумовлена наявністю протиріч, що притаманні економічній сфері діяльності. Протиріччя – це проблеми, що мають дві складові – бажане і реальне, причому є більше одного способу досягнення бажаного (мети). Так як існує декілька способів досягнення мети, то виникає проблема вибору альтернативи. Варіанти рішень різняться своїми кінцевими результатами – наслідками, що характеризують ступінь досягнення мети, тому остаточне рішення щодо вибору альтернативи залишається за особою що приймає рішення. Особа, що приймає рішення, має свої суб’єктивні цілі - критерії вибору певної альтернативи, що можуть не співпадати з об’єктивними оцінками. Складність вибору «правильного рішення» обумовлене також відсутністю цілісного сприйняття і об’єктивного оцінювання реальної економічної ситуації, відсутністю повної та чіткої інформації про стан і характеристики досліджуваного об’єкта, крім того, описання економічної задачі майже завжди повністю виключає вплив середовища, що може активно, осмислено або пасивно впливати на результат.


Умови прийняття рішення в економічній діяльності можна поділити:

- умови повної визначеності – кожна існуюча альтернатива приводить до одного единого рішення, тобто існує повна функцінальна залежність результатів прийняття рішення від альтернатив;

- стохастичні умови (наявність ризику) – кожна альтернатива може привести до множини результатів, кожен із яких має певну імовірність появи - існує певна стохастична залежність результату від альтернатив;

- умови невизначеності – кожна альтернатива може привести до одного або кількох результатів, імовірність появи яких невідома, тобто повністью відсутня навіть стохастична залежніть результату від альтернатив.

В залежності від умов відбувається вибір моделі та методу моделювання. Моделювання дає особам – фахівцям зручний, дешевий і ефективний інструмент швидкого перебору і порівняння множини варіантів рішення і можливість обрати найкращу альтернативу.
1.3. Математичне моделювання задач економічної діяльності.

Математичні моделі в економіці розробляються і використовуються для двох цілей: кращого розуміння об’єктивної реальності з метою планування раціонального способу дій та вибору оптимальних рішень для практичної діяльності, відповідно, математичне моделювання обов’язково повинно розглядатися як складова процесу прийняттярішення.

Під економіко-математичною моделлю розуміють представлення найсуттєвіших економічних зв’язків, та характеристик економічного об’єкта, процесу або явища у формальному вигляді, за допомогою математичних функцій, систем, нерівностей та рівнянь.

Розглянемо найпростіші приклади математичних моделей економічних задач.

Модель міжгалузевого балансу (модель Леонтьєва багатогалузевої економіки). Нехай маємо деякий виробничий комплекс, що складається із n «чистих» галузей, що випускають n видів продукції Чисті галузі - це економічна абстракція, означаюча умовну галузь, що об’єднує все виробництво окремого виду продукції, причому кожна галузь випускає лише певний продукт і різні галузі випускають різні продукти. У процесі власного виробництва кожна галузь використовує продукцію виготовлену іншими галузями. Мета побудови моделі міжгалузевого балансу – дати відповідь на питання: яким повинен бути обсяг виробництва кожної з галузей, щоб задовольнити усі потреби у продукції окремої галузі. При цьому кожна галузь виступає з одного боку як виробник продукції, а з іншого - як споживач і власної і продукції інших галузей.


Зв’язок між галузями відображується в таблицях міжгалузевого балансу (таблиця 1.1), а математична модель балансового аналізу була запропонована американським економістом В.Леонтьєвим у 1936 році [].

Математична модель Леонтьєва включає наступні обмеження на роботу галузей:


  1. Виробничий комплекс містить обмежену кількість галузей – n, що задіяні на випуск n видів продукції;

  2. Кожна галузь виробничого комплексу виготовляє лише один вид продукції;

  3. Різні залузі випискають різні товари, отже спільне виробництво одного виду продукції виключається;

  4. Під виробничим процесом кожної галузі розуміють перетворення деякої частки (можливо всіх) видів продукції, взятих у певних кількостях, в деяку кількість продукції іншого виду;

  5. Співвідношення витраченої і випущеної продукції є сталою величиною.

Таблиця 1.1. Таблиця міжгалузевого балансу.

Галузі

Випуск продукції між галузями

Yi

Xi

1

2

...

j



n

всього

1

x11

x12




x1j



x1n










2

x21

x21



x2j



x21










...






















i

xi1

xi1



xij



xin































n

xn1

xn2



xnj



xnn











всього
















Y


X

В таблиці введено позначення:

Yi – обсяг кінцевого продукту i–ої галузі для невиробничого споживання, (i = n);


Xi – валовий (загальний) обсяг продукції i–ої галузі (i = n);

xij – обсяг виробництва i–ої галузі, що потребує j-та галузь в процесі виробництва, (i,j = n);.

Отже, формально маємо квадратну матрицю n –го порядку (кількість виробничих галузей і галузей – споживачів дорівнюють n), кожен елемент якої xij , характеризує об’єм поставок продукції з i–ої галузі, що використовується j –ю галуззю, для виробничого споживання. Якщо просумувати міжгалузеві поставки продукції i–ої галузі за усіма галузями – споживачами, то отримаємо загальну величину проміжного продукту i–ої галузі:



Проміжний продукт представляє собою ту частину валового продукту, що залишається після вулучення кінцевого продукту і використовується на відшкодування виробничих та інших матеріальних витрат в межах досліджуваного періоду часу.

Сума проміжних продуктів усіх галузей виробнчого комплексу складає загальну величину проміжного продукту:


Оскільки валовий об’єм продукції i–ої галузі дорівнює сумі двох складових - загальний обсяг продукції, що використовується на виробничі потреби інших галузей та обсяг кінцевого продукту, то рівняння міжгалузевого балансу можна подати у вигляді:




Для практичного застосування економіко-математичну модель міжгалузевого балансу записують у вигляді:

, (1.1)

де - коефіцієнти прямих матеріальних витрат продукції i–ої галузі, на одиницю валового випуску продукції j –ої галузі. Ці коефіцієнти творюють квадратну матриц. Коефіцієнтів прямих матеріальних витрат А = ((аij)), або матрицю технологічних коефіцієнтів.

Математичну модель (1.1) можна записати у матричній формі:

X = AX + Y (1.2)

де X - вектор валового випуску, Y - вектор кінцевого продукту.

Тоді основна задача міжгалузевого балансу формально зводиться до відшукання такого вектора валового випуску X, що забезпечує заданий вектор кінцевого продукту Y , при відомій матриці технологічних коефіцієнтів.

Приклад 1.1. маємо виробничу систему, що складається з трьох галузей. Техннологічні коефіцієнти та заданий об’єм кінцевого продукту подано таблицею:


Галузі виробництва

Технологічні коефіцієнти


Об’єм кінцевого продукту

1

2

3

1

0

0,2

0

200

2

0,2

0

0,1

100

3

0

0,1

0,2

300

Визначити вектор валового випуску X, що забезпечує заданий вектор кінцевого продукту.

Із формули (1.2) маємо X = (Е – A)-1 Y



Отже знайдено вектор валового випуску, що забезпечує заданий вектор кінцевого продукту.

Виробничі функції. Моделювання процесів економічної діяльності вимагає також побудови спеціальних моделей, що отримали назву виробничі функції, функцій споживання та ін. Виробничою функцією є математична модель вигляду y = f(xi), i= 1÷n, що описує функціональну залежність деякої величини y від множини факторів xi.[]. Наприклад, залежність об’єму реалізації від об’єму наявних ресурсів різного виду, такі як трудові ресурси, товарний запас, об’єм складських приміщень ін.


Типовими виробничими функціями є степеневі рівняння виду , одним із варіантів якого є функція Коба-Дугласа:

. (1.3)

Функцію, що описує залежність витрат деякого ресурсу x1 інших факторів, наприклад, об’єму продажу товарів yi (i= 1÷m) називають функцією виробничих витрат:

x1 = f(y1, y2,,…,yi…, ym).

Функція споживання, у загальному випадку, представляє собою багатофакторну модель зв’язку рівня споживання матеріального блага S і факторів впливу k1, k2,,.., ki …, kp, що визначають об’єм попиту і пропозиції:

S = f(k1, k2,,.., ki …, kp), (i = 1÷p).


Прикладом однофакторної моделі споживання є модель зв’язку об’єму попиту від рівня доходу, запропонована шведським економістом Л. Торнквістом []:

, де k - рівень доходу.

Іншим прикладом моделі виробничих функцій є задача про раціон харчування, або так звана задача про дієти [], що описує формування економічного переліку продуктів для добового споживання, що встановлює заємозвязок між такими показниками як ціна, запас, харчова (корисна) цінність продуктів і витрати на харчування (С):

С = f (cj, zj, qi,, bi, gij, xj),

де: cjціна одиниці (1кг) j –го продукта;

zj – запас j –го продукта;

qiі –та харчова речовина (білки, жири, вуглеводи);

bi – норма добової потреби в і –тій харчовій речовини;

gij – вага і – ої харчової речовини в 1 кг продукту;


xj – вага продукту в раціоні харчування.

Якщо добовий раціон обмежити кількістю продуктів харчування – n та необхідною кількістю корисних речовин т, то умовою оптимізації добового раціону буде мінімізація витрат на харчування,що формально можна представити у вигляді:

С = f (cj, zj, qi,, bi, gij, xj) → min

Задачу оптимізації добового раціону можна сформулювати так: знайти такі значення ваги кожного продукту (xj) у загальному наборі продуктів раціонального харчування, щоб вартість набору цих продуктів була мінімальною. За умови повного забеспечення добового раціону кількістю корисних речовин (т) і обмеженим набором продуктів (n):

(1.4)

Записані вирази представляють собою економіко-математичну модель задачі. Розв’язок цієї задачі не складно отримати за допомогою методів лінійного програмування.

Подальший розвиток задачі про раціональне харчування приводить до задач пов’язаних з товаропостачанням і управлінням товарними запасами [].

Задачі теорії прийняття рішень. Задачею теорії прийняття рішень називають таку задачу, що може бути сформульована у поняттях мети, засобів досягнення мети і результату. Математична модель цієї задачі представляє собою формальний запис її складових елементів, а саме – цілей, засобів, результатів і способів зв’язку між засобами і результатами. Всю множину засобів і результатів можна представити у вигляді двох підмножин: підмножини альтернатив Х і підмножини результатів R.


Очевидно, що результат визначається двома факторами: вибором альтернатив і станом середовища, що також має множину станів Y. Тоді кожен окремий результат буде функцією двох аргументів: а = F(x,y) – функцією реалізації сполучення кожної альтернативи і певного стану середовища. Якщо підмножина альтернатив і множина станів середовища обмежені: X=(x1, x2,…xi,..,xn), Y = (y1, y2,..,yj,..ym), то функцію реалізації F зручно представити у вигляді матриці:

F = (1.5)

Представлена таким чином функція реалізації задачі прийняття рішення може бути застосована в умовах повної визначеності, ризику і невизначеності.

Умови прийняття рішень визначаються ступенем інформованості особи, що приймає рішення, про можливості появи тих чи інших станів середовища.

Розглянемо приклад, що демонструє основні принципові складові математичної моделі прийняття рішення, а саме альтернативи, обмеження і критерій вибору альтернатив.

Приклад 1.2. Припустимо, що у відповідності до ділових обов’язків менеджеру торгового підприємства, що розміщене в місті А, необхідно на протязі п’яти тижнів п’ять разів відвідати місто В. Менеджер повинен прибути в місто В в понеділок першого тижня і закінчити свої поїздки - повернутися в місто А в середу п’ятого тижня. Квиток на із міста А в місто В і назад на перереднє замовлення коштує 400 умовних грошових одиниць, але можна отримати 20% знижку від вартості квитка, якщо виліт припадає на кінець тижня. Крім того, вартість білета в одну сторону рівна 75% від вартості білету на замовлення в обидві сторони. Менеджер намагається зменшити, при можливості, вартість перельотів. Як це зробити?


Описану ситуацію можна розглядати як задачу прийняття рішення, в якій для знаходження оптимального рішення треба визначити три основних компоненти:

1. що в даному випадку вважати альтернативним рішенням;

2. які обмеження повинно задоволяняти можливе рішення;

3. за яким критерієм повинні обиратися альтернативні рішення.

У даному прикладі можливі наступні альтернативи:

1. придбання п’яти квитків на замовлення А-В-А (тобто із міста А в місто В і назад);

2. придбання одного квитка в одну сторону А-В і чотирьох квитків А-В-А, що приходяться на кінець тижня, і одного квитка в ону сторону В-А;

3. придбання квитка А-В-А для першого тижня, за умови що між датами вильоту буде понеділок; для останнього тижня придбання квитка А-В-А, між датами якого повиння бути середа, причому перший і останній квиток повинні припадати на кінець тижня; чотири квитки А-В-А, між датами якого також є останні дні тижня.

Обмеженнями задачі будуть дні прибуття: понеділок першого тижня і середа п’ятого тижня.

Критерієм для оцінки можливих альтернатив являється ціна квитків. Альтернатива, що забеспечить найменшу вартість перельотів, буде найкращою.

Розрахуємо кількісні оцінки сформульованих альтернатив (вартість квитків).


1 альтернатива: 5*400 = 2000 (ум.од.).

2 альтернатива: 0,75*400+0,8*400+0,75*400 = 1800 (ум.од.).

3 альтернатива: 5*(0,8*400) = 1600 (ум.од.).

Очевидно, що кращою - «економнішою» буде третя альтернатива.

У загальному випадку в задачах прийняття рішення альтернативи залежать від певного набору змінних – факторів, які використовуються при формалізації обмежень (умов задачі) і критерію відбору альтернатив у вигляді певних математичних функцій.в результаті формалізації отримуємо математичну модель, що містить змінні задачі, обмеження і функцію критерію, що називається також цільовою фукцією. Рішенням математичної моделі буде такий набір значень змінних, який оптимізує фукцію критерію і задоволяняє усім обмеженням. Такий набір змінних називається оптимальним допустимим рішенням.

Розглянемо довільну економічну систему, яку можна представити у вигляді математичної моделі з параметрами сk (k = 1, 2, ..., l), що є кількісними характеристиками системи, причому, частина параметрів сk для окремої системи може бути постійними, частина - змінними величинами, які, в свою чергу, можуть бути незалежними чи залежними, дискретними чи неперервними, детермінованими або випадковими. Наприклад, якщо в якості моделі довільної економічної системи розглядати виробниче підприємство, то його сталими параметрами є наявні ресурси, норми витрат ресурсів тощо.

Кількісними змінними величинами, тобто такими що залежать від певних умов, будуть ціни та собівартість проміжної та кінцевої продукції, закупівельні ціни на ресурси і т.п. Залежною змінною буде собівартість продукції, незалежною - початковий розмір статутного фонду, дискретною — кількість видів продукції, що виготовляється, неперервною — час роботи обладнання підприємства, детермінованою — норма витрат сировини і матеріалів на виробництво продукції, випадковою — кількість поломок обладнання, або непередбачуваних обставин, які впливають на стан виробничої системи (ризики) у плановому періоді.


При формуванні задачі враховуються лише суттєві фактори, усі другорядні, не суттєві, або якісні параметри (при неможливості привести їх до кількісних оцінок) відкидаються. Усі значимі фактори задачі поділяють на керовані xj (j = 1, 2, ..., n), значення яких можна змінювати в деякому інтервалі (оптимальне значення цих факторів визначається в процесі розв’язку задачі); і некеровані змінні yi (і = 1, 2, ..., m), значення яких не залежать від волі людей і визначаються зовнішнім середовищем. Тому спочатку доцільно визначити, значеннями яких характеристик або змінних можна вар’ювати, не втрачаючи при цьому постійні характеристики – параметри, тому що без їх урахування правильне рішення задачі не можливе. Наприклад, обсяг придбаного пального — керована, а температура повітря — некерована змінна. Залежно від реальної ситуації керовані змінні можуть переходити у групу некерованих і навпаки. Наприклад, у разі насиченого ринку обсяги придбання дизельного палива є керованою змінною величиною, а за умов дефіциту цього ресурсу — некерованою.

Необхідно пам’ятати, що для кількісного оцінювання і аналізу факторів необхідним є використання знань і професійних умінь спеціалістів різного профилю, що забеспечить достатній об’єм знань і можливість знаходження таких рішень, які не можливо було б визначити окремому досліднику вузької професійної орієнтації.

У загальному випадку, кожна економічна система має певну мету свого функціонування і розвитку. Ступінь досягнення мети, здебільшого, має кількісну міру і може бути описаний математично у вигляді критерію ефективності F. Функціональний зв’язок критерію ефективності F з параметрами системи, керованими і некерованими змінним можна записати у вигляді цільової фукції:

F = f (x1, x2, ..., xn; y1, y2, ..., ym; c1, c2, ..., cl)→ extr (1.6)


Функцію F називають також функцією мети.

Оптимальному (екстремальному) значення критерію ефективності відповідають певні значення керованих змінних (xj). При такій постановці задачі постає питання пробудови математичної моделі економічних показників - керованих змінних, що дозволили б визначити числове значення критерію ефективності. Для цього використовують математичні методи диференціювання, інтегрування, теорії ігор, математичного програмування, мережного планування і управління, теорії ймовірностей і математичної статистики, економетричні методи та теорія масового обслуговування.

Можливості вибору керованих змінних xj завжди обмежені зовнішніми щодо системи умовами, параметрами виробничо-економічної системи тощо. Наприклад, об’єм реалізації готової продукції обмежений наявністю матеріальних, трудових, фінансових та інших ресурсів, стабільністю і об’ємом попиту на продукцію, необхідністю виконання договірних зобов’язань тощо. Ці процеси можна описати системою математичних рівнянь та нерівностей виду:

(1.7)

Набір символів (, =, ) означає, що для деяких значень поточного індексу і виконуються нерівності типу , для інших — рівності (=), а для решти — нерівності типу .

Система (1.6) називається системою обмежень, вона містить в собі умову задачі, що описує внутрішні технологічні та економічні процеси функціонування і розвитку виробничо-економічної системи, а також процеси зовнішнього середовища, які впливають на результат діяльності системи. Для економічних систем змінні xj мають бути невід’ємними:


. (1.8)

Залежності (1.6)—(1.8) утворюють математичну модель економічної системи. Розробляючи таку модель, слід дотримуватись певних правил:

1. Модель має адекватно описувати реальні технологічні та економічні процеси.

2. У моделі потрібно враховувати все істотне, суттєве в досліджуваному явищі чи процесі, нехтуючи всім другорядним, неістотним у ньому.

3. Модель має бути зрозумілою для користувача, зручною для реалізації на ЕОМ.

4. Необхідно, щоб множина змінних xj була не порожньою. З цією метою в економіко-математичних моделях за змоги слід уникати обмежень типу «=», а також суперечливих обмежень. Наприклад, ставиться обмеження щодо виконання контрактів, але ресурсів недостатньо, аби їх виконати. Якщо система (1.7) має єдиний розв’язок, то не існує набору різних планів, а отже, й задачі вибору оптимального з них.

Будь-який набір змінних x1, x2, ..., xn, що задовольняє умови (1.7) і (1.8), називають допустимим рішенням, або планом. Очевидно, що кожний допустимий план є відповідною стратегією економічної системи, програмою дій. Кожному плану відповідає певне значення цільової функції.

Сукупність усіх розв’язків системи обмежень (1.7) і (1.8), утворює область існування планів. План, за якого цільова функція набуває екстремального значення, називається оптимальним.

Типову економіко - математичну модель коротко можна сформулювати таким чином: максимізувати або мінімізувати цільову функцію за умови виконання обмежень.