refik.in.ua 1 2 3 4 ... 9 10

Вправи

Обчислити визначники:


Розв’язати рівняння:


Розв’язати подані системи рівнянь та виконати перевірку:


Відповіді:




Методична порада. Якщо ваш час на розв’язання і перевірку (без допомоги калькулятора) однієї системи вигляду 10 – 15 становить більше 5 хвилин, то пропонуємо самостійно скласти і розв’язати ще декілька подібних систем (при змінних – одноцифрові коефіцієнти з різними знаками). Навики обчислення без калькулятора допоможуть вам легше і швидше вивчити наступний матеріал.
1.3. Визначники 3-го порядку. Означення. Оновні властивості
Означення: Визначником 3-го порядку називається число, отримане з дев’яти заданих чисел, розміщених у вигляді квадратної таблиці, обчислене за правилом:

Приклад. За допомогою формули (1) обчислити визначник

.


Елементи визначника 3-го порядка розміщені в трьох рядках і трьох стовпцях. Якщо ввести позначення загального елемента , то перший індекс означає номер рядка, а другий з індексів - номер стовпця. Розрізняють головну (елементи ) і побічну (елементи ) діагоналі визначника. Доданки в правій частині (1) називаються членами визначника.

Із (1) видно, що кожний член визначника містить по одному і тільки по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпця.

Обчислювати визначник можна за допомогою правила трикутників, яке зобразимо схематично:








Члени визначника із елементів головної діагоналі, а також члени із елементів, що знаходяться у вершинах трикутників, що мають по одній стороні, паралельній головній діагоналі (ліва схема), беруться із знаком « + », а члени визначника із елементів побічної діагоналі, а також із елементів, що знаходяться у вершинах трикутників, які мають сторони, паралельні побічній діагоналі (права схема) беруться із знаком « - ».

Розглянемо основні властивості визначників 3-го порядку.

1. Величина визначника не зміниться при заміні відповідних рядків стовпцями (така заміна називається транспонуванням).

2. Знак визначника зміниться на протилежний, якщо в ньому поміняти місцями два його рядки (стовпці).


Властивості 1, 2 рекомендується перевірити самостійно згідно з формулою (1).

3. Визначник дорівнює нулю, якщо в ньому однаковими є відповідні елементи двох рядків (стовпців).

Дійсно, нехай, наприклад, у визначнику однакові елементи І-го і ІІ-го стовпців:


Помінявши місцями рівні стовпці, ми за властивістю 2 отримаємо новий визначник . З іншого боку новий визначник збігається з початковим оскільки рівні відповіді елементи, тобто . З цих рівностей маємо: . Такий же результат можна отримати безпосереднім обчисленням.

4. Визначник дорівнює нулю, якщо всі елементи одного рядка (стовпця) є нулями.

Це твердження випливає з того, що кожний член визначника за формулою (1) містить по одному і тільки по одному елементу із кожного рядка і кожного стовпця. В даному випадку по одному елементу з рядка (стовпця), що містить нулі.

5. Спільний множник елементів одного рядка (стовпця) можна винести за знак визначника.

Наприклад,


Перевірити безпосереднім обчислюванням за (1).

6. Якщо елементи одного рядка (стовпця) визначника пропорційні відповідним елементам другого рядка (стовпця), то такий визначник дорівнює нулю.

Дійсно, за властивістю 5 коефіцієнт прапорційності можна винести за знак визначника, а тоді скористатись властивістю 3.

7. Якщо кожний з елементів рядка (стовпця) визначника є сумою двох доданків, то цей визначник можна подати у вигляді суми відповідних визначників, наприклад,



Для перевірки досить записати в розгорнутому вигляді за (1) визначник, що в лівій частині рівності, тоді окремо згрупувати члени, що містять елементи . Кожна з отриманих груп доданків буде відповідно першим і другим визначником із правої частини рівності.

8. Значення визначника не зміниться, якщо до елемента одного рядка (стовпця) додати відповідні елементи другого рядка (стовпця), помножені на одне й теж число.

Наприклад,


Ця рівність випливає із властивостей 6 і 7.

Приклади


  1. Обчислити визначник






  1. Перевірити першу властивість визначника


За допомогою властивостей знайти значення визначників



1.4. Мінори. Алгебраїчні доповнення. Теорема про розклад

Означення 1. Мінором елемента (позначається ) визначника 3-го порядку називається визначник 2-го порядку, отриманий з даного визначника , в якому викреслено і-тий рядок і j-ий стовпець, в яких містився елемент .


Наприклад, викреслюючи у визначнику


3-ій рядок 2-ий стовпець знаходимо мінор


який відповідає елементу .

Аналогічно можна виписати мінори для решти елементів. Всього для елементів визначника 3-го порядку можна виписати 9 мінорів.

Означення 2. Алгебраїчним доповненням елемента (позначається ) називається відповідний мінор , взятий із знаком , тобто


Знаки перед мінорами залежать від місця елемента у визначнику і розподіляються за схемою:


Приклад 1. Знайти алгебраїчні доповнення елементів визначника.

.

Розв’язання. Відповідно до означення алгебраїчних доповнень, ураховуючи схему розподілу знаків для відповідних мінорів, маємо



Поняття алгебраїчного доповнення дає можливість ще одного способу обчислення визначника, який стверджується наступною теоремою.

Теорема. (Про розклад визначника). Визначник дорівнює сумі добутків елементів рядка (стовпця) на їх алгебраїчні доповнення.

Наприклад,


Рівність (1) перевіряється безпосередньо


Як бачимо останній вираз збігається з виразом (1) з 1.3.

Рівність типу (1) називають розкладом визначника за елементами першого стовпця.

Вправа. Записати ще 5 розкладів типу (1) для інших рядків і стовпців.
Приклад 2. Обчислити визначник прикладу 1, розкладаючи його за елементами рядків і стовпців.

Розв’язання. Алгебраїчні доповнення вже знайдені у попередньому прикладі, тоді розклади за елементами рядків відповідно запишуться:



Аналогічні розклади запишемо за рядками:


Приклад 3. Обчислити визначник, розклавши його за елементами ІІІ-го рядка


Розв’язання.


.

Приклади. Користуючись теоремою про розклад обчислити визначники:



Відповіді. 1) -63. 2) -44. 3) 35. 4) -35. 5) 17. 6) 21.
1.5. Теореми заміщення і анулювання
Теорема (заміщення). Сума добутків алгебраїчних доповнень будь якого рядка (стовпця) на довільні числа дорівнює новому визначнику, в якому цими числами заміщені відповідні елементи початкового визначника, що відповідають даним алгебраїчним доповненням.

Наприклад,


де - алгебраїчні доповнення елементів першого стовпця початкового визначника:


Теорема (анулювання). Сума добутків елементів одного рядка (стовпця) на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) дорівнює нулю.

Наприклад,



Дійсно, за теоремою про заміщення ліва частина виразу дасть новий визначник з двома однаковими стовпцями.

Приклад

Для визначника


а) Знайти алгебраїчні доповнення всіх його елементів.

б) Перевірити теорему про розклад для всіх трьох стовпців.

в) Перевірити теорему про анулювання для алгебраїчних доповнень елементів І-го рядка та відповідних елементів ІІ-го рядка, а тоді для елементів ІІІ-го рядка.



<< предыдущая страница   следующая страница >>