refik.in.ua 1 2 3 ... 9 10

Приклади розв’язання СЛР методом Гаусса


Приклад 1.Розв’язати систему



Розв’язання. Внесемо елементи всіх трьох рівнянь в перші три рядки обчислювальної таблиці 2. Провідний елемент . Рядки 4 і 5 заповнюємо згідно з перетворенням за правилом прямокутника елементів 2-го і 3-го рядків.

Провідні елементи виділено рамками. Пояснемо деякі результати. В інших клітинах маємо:
Таблиця 2


п/п

Коефіцієнти при

Вільні члени

Суми

Контроль











1

2

3

4

5

6

1

3

1

-2

7

9


2


1

2

3

10

16

3

2

-1

-1

3

3

4




5

11

23

39

39

5




-5

1

-5

-9

-9

6







60

90

150

150


Аналогічно заповнений рядок 5.


Для рядка 6 маємо у відповідних клітинах:

стане провідним елементом,

За даними рядів 1, 4, 6 записуємо трикутну систему


Зворотний хід.

Із (Р3)
Із (Р2)
Із (Р1)
Перевірка. Підставимо в СЛР(11), одержимо:


Відповідь. Система (11) має єдиний розв’язок: .
Приклад 2.Знайти розв’язок системи:


Складаємо обчислювальну таблицю.

Таблиця 3


п/п

Коефіцієнти при

Вільні члени

Суми

Контроль













1


2

3

4

5

6

7

1

2

1

2

-3

4

6




2

-3

-2

3

2

5

5

3

3

1

-4

-1

9

8

4

7

4

1

-8

3

7

5




-1

12

-5

22

28

28

6




-1

-14

7

6

-2

-2


7




1

-12

5

-22

-28

-28

8







26

-12

16

30

30

9







0

0

0

0

0



Таблиця 3 заповнюється за викладеною методикою. В 9-му рядку ми отримали нулі.

Тепер за даними таблиці 3 запишемо систему рівнянь, в які входять провідні елементи. Сюди включимо формально рівняння з елементами 9-го рядка, отримуємо:


Останнє рівняння вигляду відкидаємо. Система (14) має трапецієподібну форму. Запишемо її в трикутній формі, для чого перенесемо в праві частини доданки з невідомим . Отже, маємо


Далі зворотним ходом знаходимо:


Остаточно:


Рекомендується самостійно переконатись, що співвідношення (16) перетворюють СЛР(13) в тотожності, і отже, є розв’язком цієї системи при довільному значенні , яке називають вільним невідомим, а прийнято називати базисними невідомими.

Так, наприклад, при розв’язком буде:
При


Прийнято називати розв’язок базисним, якщо при цьому вільні невідомі дорівнюють нулю.

Таким чином, система розв’язків (16) дає нескінченну множину розв’язків, якщо вільне невідоме пробігає теж нескінченну множину значень.
Приклад 3. Знайти розв’язок системи:


Розв’язання. Складаємо обчислювальну таблицю.
Таблиця 4


п/п

Коефіцієнти при

Вільні члени

Суми

Контроль











1

2

3

4

5

6

1

4

5

-2

9

16




2

6

7

3

10

26

3

10

12

1

15

38

4




-2

24

-14

8

8

5




-2

24


-30

-8

-8

6







0

32

32

32



За результатами таблиці 4 записуємо трикутну систему:


Останнє рівняння із системи (18), , розв’язку немає, отже і вся система (18), а, значить, і еквівалентна їй система (17) теж розв’язку немає, тобто несумісна.

Зауваження 1. У викладеній схемі Гаусса ми зупинялись на випадках, коли елементи СЛР цілі числа. Якщо ж ці елементи виражаються десятковими дробами, то в основному поступають так:

1) вибирають серед всіх коефіцієнтів рівняння найбільший за абсолютною величиною (максимальний);

2) ставлять на першому місці в усіх рівняннях доданки з тим невідомим, де міститься цей коефіцієнт;

3)рівняння з максимальним коефіцієнтом переставляють на перше місце;

4)ділять перше рівняння почленно на максимальний коефіцієнт, в результаті провідний елемент стає рівним 1. Дальше застосовують правило прямокутника.

Зауваження 2. На практиці в схемі Гаусса користуються наближеними числами, внаслідок чого виникає похибка, тому ми отримуємо наближені розв’язки . Це, наприклад, для системи трьох рівнянь з трьома невідомими. Різниця між лівою частиною рівняння при і правою частиною називається відхилом, позначається:



Відхили дають можливість оцінити точність отриманих розв’язків, крім того, можуть використовуватись для знаходження більш точних розв’язків.
Дослідження СЛР за методом Гаусса

Із розглянутих прикладів1–3 ми бачимо, що користуючись методом (схемою) Гаусса можна зустрітись із такими випадками:

1) СЛР зводиться до трикутної форми, провiдні елементи якої відмінні від нуля,тоді вона має єдиний розв’язок (приклад 1);

2) СЛР зводиться до трапецієподібної форми, провiдні елементи якої відмінні від нуля,тоді вона має нескінченну множину розв’язків (приклад 2);

3) В СЛР при елементарних перетвореннях з’являється співвідношення де . В цьому випадку СЛР розв’язків немає, вона несумісна (приклад 3).
Розв’язати систему лінійних рівнянь








1.2. Визначники другого порядку. Системи лінійних рівнянь з двома невідомими
Поняття визначника 2-го порядку введемо, розв’язуючи систему двох рівнянь:



Домножимо перше з рівнянь на d, а друге - на ( - b ) і додамо їх почленно:



Звідки за умови, що , знаходимо х


Аналогічно, виключаючи х із системи (1), знаходимо:
(3)
Виразам в чисельниках і знаменниках для х і у можна надати більш зручної форми, якщо ввести поняття визначника.

Нехай задані числа тоді вираз називається визначником або детермінантом другого порядку і записується у вигляді:

Числа називаються елементами визначника; - елементи першого рядка; - елементи другого рядка. Елементи і утворюють відповідно перший і другий стовпці; і - розміщені на головній діагоналі визначника, а про елементи і кажуть, що вони - на побічній діагоналі.


Таким чином, визначник дорівнює добуткові елементів головної діагоналі мінус добуток елементів побічної діагоналі.

В лівій частині (4) - скорочене позначення визначника. Перехід від середньої частини рівності (4) до правої називається обчисленням визначника.

Визначники 2-го порядку мають цілий ряд властивостей, які будуть розглянуті пізніше при вивчені визначників 3-го порядку.

Тепер повернемось до системи (1).

Визначником системи (1) називається визначник, складений із коефіціентів при невідомих і позначається:

.

Через


позначають допоміжні визначники, які отримуємо в першому випадку, коли коефіцієнти при х системи (1) замінимо стовпцем із вільних членів, а в другому випадку замінюються коефіцієнти при у системи (1) стовпцем із вільних членів. Тоді розв’язки (2) і (3) системи (1) можна виразити формулами


які називаються формулами Крамера2.

Приклад. Розв’язати систему за формулами Крамера


та виконати перевірку.

Розв’язання. Знайдемо визначник із коефіцієнтів системи


та допоміжні визначники



За формулами Крамера (5) знаходимо


Перевірка. Підставимо знайдені значення і в кожне з рівняннь


Відповідь: .



<< предыдущая страница   следующая страница >>